2.4.15 Um cálculo do efeito de pinçamento (pinch) magneto-hidrodinâmico envolve a avaliação de (\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{B}. Se a indução magnética \mathbf{B} for considerada \mathbf{B}=\hat{\varphi} B_{\varphi}(\rho), mostre que
(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{B}=-\hat{\boldsymbol{\rho}} B_{\varphi}^{2} / \rho .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o operador convectivo
(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B}
quando
\mathbf{B}=\hat\varphi\,B_{\varphi}(\rho)
em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas, especialmente a ação de derivadas angulares sobre versores.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o nabla vale
\nabla=\hat\rho\,\frac{\partial}{\partial\rho} +\hat\varphi\,\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi} +\hat z\,\frac{\partial}{\partial z},
então
\mathbf{B}\cdot\nabla =\bigl(\hat\varphi\,B_{\varphi}(\rho)\bigr)\!\cdot\nabla =B_{\varphi}(\rho)\,\hat\varphi\!\cdot\nabla =\frac{B_{\varphi}(\rho)}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi}.

Passo 3

Aplicando esse operador em \mathbf{B}=\hat\varphi\,B_{\varphi}(\rho), temos
(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} =\frac{B_{\varphi}}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\varphi} \bigl(\hat\varphi\,B_{\varphi}\bigr) =\frac{B_{\varphi}}{\rho}\Bigl( B_{\varphi}\,\frac{\partial\hat\varphi}{\partial\varphi} +\hat\varphi\,\frac{\partial B_{\varphi}}{\partial\varphi} \Bigr).
Como B_{\varphi} depende somente de \rho, tem-se \partial B_{\varphi}/\partial\varphi=0.

Passo 4

Resta usar a relação de derivada do versor
\frac{\partial\hat\varphi}{\partial\varphi}=-\hat\rho,
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(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} =\frac{B_{\varphi}}{\rho}\,B_{\varphi}\,(-\hat\rho) =-\hat\rho\,\frac{B_{\varphi}^{2}}{\rho}.

Resposta

(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{B} =-\hat\rho\,\frac{B_{\varphi}^{2}}{\rho}.

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