2.4.15 Um cálculo do efeito de pinçamento (pinch) magneto-hidrodinâmico envolve a avaliação de (B cdot nabla) B. Se a indução magnética B for considerada B=varphi Bvarphi(rho), mostre que
(B cdot nabla) B=-rho Bvarphi^2 / rho

Passo 1

O enunciado pede para calcular o operador convectivo
(Bcdotnabla)B
quando
B=hatvarphi,Bvarphi(rho)
em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas, especialmente a ação de derivadas angulares sobre versores.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o nabla vale
nabla=hatrho,partialpartialrho +hatvarphi,1rho,partialpartialvarphi +hat z,partialpartial z,
então
Bcdotnabla =l(hatvarphi,Bvarphi(rho)r)!cdotnabla =Bvarphi(rho),hatvarphi!cdotnabla =Bvarphi(rho)rho,partialpartialvarphi

Passo 3

Aplicando esse operador em B=hatvarphi,Bvarphi(rho), temos
(Bcdotnabla)B =Bvarphirho,partialpartialvarphi l(hatvarphi,Bvarphir) =Bvarphirhol( Bvarphi,partialhatvarphipartialvarphi +hatvarphi,partial Bvarphipartialvarphi r)
Como Bvarphi depende somente de rho, tem-se partial Bvarphi/partialvarphi=0.

Passo 4

Resta usar a relação de derivada do versor
partialhatvarphipartialvarphi=-hatrho,
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(Bcdotnabla)B =Bvarphirho,Bvarphi,(-hatrho) =-hatrho,Bvarphi^2rho

Resposta

(Bcdotnabla)B =-hatrho,Bvarphi^2rho

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