2.4.16 A velocidade linear de partículas em um corpo rígido que está em rotação com velocidade angular omega é dada por
v=varphi rho omega
Integre oint v cdot d lambda ao redor de um círculo no plano x y e verifique que
oint v cdot d lambda área =nabla timesv|z á

Passo 1

O enunciado diz que num corpo rígido em rotação com velocidade angular omega a velocidade é
v = varphi,rho,omega
A tarefa é calcular a circulação
oint vcdot dlambda
ao redor de um círculo de raio R no plano xy e mostrar que, dividindo pela área desse círculo, obtemos exatamente o componente z do rotacional nablatimesv. O que vamos usar: coordenadas cilíndricas, integral de linha e fórmula do rotacional.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio R por varphiin[0,2pi], mantendo rho=R e z= constante. O elemento de linha é
dlambda = R,dvarphi,varphi

Passo 3

No contorno rho=R vale v=varphi,R,omega. Então
vcdot dlambda = (varphi,R,omega)cdot(varphi,R,dvarphi) = R^2,omega,dvarphi
Integramos de 0 a 2pi:
oint vcdot dlambda = integral0^2piR^2,omega,dvarphi = 2pi,R^2,omega

Passo 4

A área do círculo é pi,R^2. Logo a razão circulação/área fica
oint vcdot dlambdaárea = 2pi,R^2,omegapi,R^2 = 2,omega á

Passo 5

Para calcular (nablatimesv)z em coordenadas cilíndricas usamos
(nablatimesv)z = 1rhopartialpartial rhol(rho,vvarphir)
Como vvarphi=rho,omega, temos
(nablatimesv)z = 1rhopartialpartial rho(rho^2,omega) = 2,omega

Passo 6

Vimos que tanto a razão entre a circulação e a área quanto (nablatimesv)z valem 2,omega. Assim está verificada a identidade pedida.

Resposta

oint vcdot dlambdaárea = 2,omega = (nablatimesv)z á

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