2.4.16 A velocidade linear de partículas em um corpo rígido que está em rotação com velocidade angular \omega é dada por
\mathbf{v}=\hat{\varphi} \rho \omega .
Integre \oint \mathbf{v} \cdot d \boldsymbol{\lambda} ao redor de um círculo no plano x y e verifique que
\frac{\oint \mathbf{v} \cdot d \boldsymbol{\lambda}}{\text { área }}=\boldsymbol{\nabla} \times\left.\mathbf{v}\right|_{z} .á

Passo 1

O enunciado diz que num corpo rígido em rotação com velocidade angular \omega a velocidade é
\mathbf{v} = \hat{\varphi}\,\rho\,\omega.
A tarefa é calcular a circulação
\displaystyle\oint \mathbf{v}\cdot d\boldsymbol{\lambda}
ao redor de um círculo de raio R no plano xy e mostrar que, dividindo pela área desse círculo, obtemos exatamente o componente z do rotacional \nabla\times\mathbf{v}. O que vamos usar: coordenadas cilíndricas, integral de linha e fórmula do rotacional.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio R por \varphi\in[0,2\pi], mantendo \rho=R e z= constante. O elemento de linha é
d\boldsymbol{\lambda} = R\,d\varphi\,\hat{\varphi}.

Passo 3

No contorno \rho=R vale \mathbf{v}=\hat{\varphi}\,R\,\omega. Então
\mathbf{v}\cdot d\boldsymbol{\lambda} = (\hat{\varphi}\,R\,\omega)\cdot(\hat{\varphi}\,R\,d\varphi) = R^2\,\omega\,d\varphi.
Integramos de 0 a 2\pi:
\oint \mathbf{v}\cdot d\boldsymbol{\lambda} = \int_{0}^{2\pi}R^2\,\omega\,d\varphi = 2\pi\,R^2\,\omega.

Passo 4

A área do círculo é \pi\,R^2. Logo a razão circulação/área fica
\frac{\displaystyle\oint \mathbf{v}\cdot d\boldsymbol{\lambda}}{\displaystyle\text{área}} = \frac{2\pi\,R^2\,\omega}{\pi\,R^2} = 2\,\omega.á

Passo 5

Para calcular (\nabla\times\mathbf{v})_z em coordenadas cilíndricas usamos
(\nabla\times\mathbf{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\bigl(\rho\,v_\varphi\bigr).
Como v_\varphi=\rho\,\omega, temos
(\nabla\times\mathbf{v})_z = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho^2\,\omega) = 2\,\omega.

Passo 6

Vimos que tanto a razão entre a circulação e a área quanto (\nabla\times\mathbf{v})_z valem 2\,\omega. Assim está verificada a identidade pedida.

Resposta

\frac{\displaystyle\oint \mathbf{v}\cdot d\boldsymbol{\lambda}}{\displaystyle\text{área}} = 2\,\omega = (\nabla\times\mathbf{v})_z.á

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