2.4.16 A velocidade linear de partículas em um corpo rígido que está em rotação com velocidade angular
é dada por
Integre
ao redor de um círculo no plano
e verifique que
Passo 1
O enunciado diz que num corpo rígido em rotação com velocidade angular
a velocidade é
A tarefa é calcular a circulação
ao redor de um círculo de raio no plano
e mostrar que, dividindo pela área desse círculo, obtemos exatamente o componente
do rotacional
. O que vamos usar: coordenadas cilíndricas, integral de linha e fórmula do rotacional.
ao redor de um círculo de raio
Passo 2
Parametrizamos o círculo de raio
por
, mantendo
e
constante. O elemento de linha é
Passo 3
No contorno
vale
. Então
Integramos de
a
:
Passo 4
A área do círculo é
. Logo a razão circulação/área fica
Passo 5
Para calcular
em coordenadas cilíndricas usamos
Como
, temos
Passo 6
Vimos que tanto a razão entre a circulação e a área quanto
valem
. Assim está verificada a identidade pedida.