2.4.11 Para o escoamento de um fluido viscoso incompressível, as equações de Navier-Stokes levam a
-\boldsymbol{\nabla} \times(\mathbf{v} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v}))=\frac{\eta}{\rho_{0}} \boldsymbol{\nabla}^{2}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v}) .
Aqui, \eta é a densidade do fluido. Para escoamento axial em um cano cilíndrico admitimos que a velocidade v é
\mathbf{v}=\hat{\mathbf{z}} v(\rho) .
Pelo Exemplo 2.4.2,
\boldsymbol{\nabla} \times(\mathbf{v} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v}))=0
para essa escolha de \mathbf{v}.
Mostre que
\nabla^{2}(\nabla \times \mathbf{v})=0
e que essa expressão leva à equação diferencial
\frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left(\rho \frac{d^{2} v}{d \rho^{2}}\right)-\frac{1}{\rho^{2}} \frac{d v}{d \rho}=0
e que essa expressão é satisfeita por
v=v_{0}+a_{2} \rho^{2} .

Passo 1

O enunciado trata de escoamento axial de um fluido viscoso incompressível em um cano cilíndrico, levando à equação
\nabla^2(\nabla\times\mathbf{v})=0
para o campo de velocidades \mathbf{v}=\hat{\mathbf z}\,v(\rho). O conteúdo envolve cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas (cálculo de \nabla\times\mathbf{v} e da Laplaciana de um campo).

Passo 2

Calculemos \nabla\times\mathbf{v}. Em coordenadas cilíndricas, para \mathbf{v}=(0,0,v(\rho)) vale
(\nabla\times\mathbf{v})_\varphi =\frac{\partial v_\rho}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial \rho} =-\frac{d v}{d\rho},
enquanto as componentes \rho e z são nulas. Logo
\nabla\times\mathbf{v}=-\hat{\boldsymbol\varphi}\,\frac{d v}{d \rho}.

Passo 3

Aplicamos agora a Laplaciana vetorial sobre este resultado. Para um vetor que só tem componente \varphi dependente somente de \rho, em cilíndricas
\nabla^2\bigl[(\nabla\times\mathbf{v})_\varphi\bigr] =\frac{\partial^2}{\partial \rho^2}\Bigl(-\frac{d v}{d\rho}\Bigr) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\Bigl(-\frac{d v}{d\rho}\Bigr) -\frac{1}{\rho^2}\Bigl(-\frac{d v}{d\rho}\Bigr).

Passo 4

Impondo \nabla^2(\nabla\times\mathbf{v})=0 obtemos
\frac{\partial^2}{\partial \rho^2}\Bigl(\frac{d v}{d\rho}\Bigr) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\Bigl(\frac{d v}{d\rho}\Bigr) -\frac{1}{\rho^2}\frac{d v}{d\rho} =0.
Reescrevendo em forma compacta:
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\frac{d^2 v}{d\rho^2}\Bigr) -\frac{1}{\rho^2}\frac{d v}{d\rho} =0.

Passo 5

Para resolver, note que se fizermos a ansatz v(\rho)=\rho^n então
\frac{d v}{d\rho}=n\rho^{n-1},\quad \frac{d^2 v}{d\rho^2}=n(n-1)\rho^{n-2}.
Substituindo na equação resulta no fator
n\bigl((n-1)^2-1\bigr)\rho^{n-3} =n^2(n-2)\rho^{n-3}=0,
daí n=0 ou n=2.

Passo 6

A solução geral, combinando as duas potências, é
v(\rho)=v_0 + a_2\,\rho^2,
com v_0 e a_2 constantes determináveis pelas condições de contorno.

Resposta

v(\rho)=v_0 + a_2\,\rho^2.

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