2.4.11 Para o escoamento de um fluido viscoso incompressível, as equações de Navier-Stokes levam a
Aqui,
é a densidade do fluido. Para escoamento axial em um cano cilíndrico admitimos que a velocidade v é
Pelo Exemplo 2.4.2,
para essa escolha de
.
Mostre que
e que essa expressão leva à equação diferencial
e que essa expressão é satisfeita por
Passo 1
O enunciado trata de escoamento axial de um fluido viscoso incompressível em um cano cilíndrico, levando à equação
para o campo de velocidades
. O conteúdo envolve cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas (cálculo de
e da Laplaciana de um campo).
Passo 2
Calculemos
. Em coordenadas cilíndricas, para
vale
enquanto as componentes
e
são nulas. Logo
Passo 3
Aplicamos agora a Laplaciana vetorial sobre este resultado. Para um vetor que só tem componente
dependente somente de
, em cilíndricas
Passo 4
Impondo
obtemos
Reescrevendo em forma compacta:
Passo 5
Para resolver, note que se fizermos a ansatz
então
Substituindo na equação resulta no fator
daí
ou
.
Passo 6
A solução geral, combinando as duas potências, é
com
e
constantes determináveis pelas condições de contorno.