2.4.11 Para o escoamento de um fluido viscoso incompressível, as equações de Navier-Stokes levam a
-nabla times(v times(nabla times v))=etarho0 nabla^2(nabla times v)
Aqui, eta é a densidade do fluido. Para escoamento axial em um cano cilíndrico admitimos que a velocidade v é
v=z v(rho)
Pelo Exemplo 2.4.2,
nabla times(v times(nabla times v))=0
para essa escolha de v.
Mostre que
nabla^2(nabla times v)=0
e que essa expressão leva à equação diferencial
1rho dd rho(rho d^2 vd rho^2)-1rho^2 d vd rho=0
e que essa expressão é satisfeita por
v=v0+a2 rho^2

Passo 1

O enunciado trata de escoamento axial de um fluido viscoso incompressível em um cano cilíndrico, levando à equação
nabla^2(nablatimesv)=0
para o campo de velocidades v= z,v(rho). O conteúdo envolve cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas (cálculo de nablatimesv e da Laplaciana de um campo).

Passo 2

Calculemos nablatimesv. Em coordenadas cilíndricas, para v=(0,0,v(rho)) vale
(nablatimesv)phi =partial vrhopartial z-partial vzpartial rho =-d vdrho,
enquanto as componentes rho e z são nulas. Logo
nablatimesv=-boldsymbolphi,d vd rho

Passo 3

Aplicamos agora a Laplaciana vetorial sobre este resultado. Para um vetor que só tem componente phi dependente somente de rho, em cilíndricas
nabla^2l[(nablatimesv)phir] =partial^2partial rho^2l(-d vdrhor) +1rhopartialpartial rhol(-d vdrhor) -1rho^2l(-d vdrhor)

Passo 4

Impondo nabla^2(nablatimesv)=0 obtemos
partial^2partial rho^2l(d vdrhor) +1rhopartialpartial rhol(d vdrhor) -1rho^2d vdrho =0
Reescrevendo em forma compacta:
1rhoddrho!l(rhod^2 vdrho^2r) -1rho^2d vdrho =0

Passo 5

Para resolver, note que se fizermos a ansatz v(rho)=rho^n então
d vdrho=nrho^n-1, d^2 vdrho^2=n(n-1)rho^n-2
Substituindo na equação resulta no fator
nl((n-1)^2-1r)rho^n-3 =n^2(n-2)rho^n-3=0,
daí n=0 ou n=2.

Passo 6

A solução geral, combinando as duas potências, é
v(rho)=v0 + a2,rho^2,
com v0 e a2 constantes determináveis pelas condições de contorno.

Resposta

v(rho)=v0 + a2,rho^2

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