Ache a diferencial total d w.
w=\frac{x y z}{x+y+z}

Passo 1

Temos a função
w = \frac{x\,y\,z}{x + y + z}
e queremos a diferencial total dw. Lembrando que, para uma função de três variáveis,
dw = \frac{\partial w}{\partial x}\,dx + \frac{\partial w}{\partial y}\,dy + \frac{\partial w}{\partial z}\,dz,
precisamos então calcular as derivadas parciais de w em relação a x, y e z.

Passo 2

Definindo
N = x\,y\,z \quad\text{e}\quad D = x + y + z,
usamos a regra do quociente
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2},
onde N_x = \frac{\partial (x y z)}{\partial x} = y z e D_x = 1. Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{y z\,(x + y + z) - x y z}{(x + y + z)^2} = \frac{y z\,(y + z)}{(x + y + z)^2}.
Por simetria, as demais são
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{x z\,(x + z)}{(x + y + z)^2}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{x y\,(x + y)}{(x + y + z)^2}.

Passo 3

Substituindo no formato da diferencial total, obtemos
dw = \frac{y z\,(y + z)}{(x + y + z)^2}\,dx + \frac{x z\,(x + z)}{(x + y + z)^2}\,dy + \frac{x y\,(x + y)}{(x + y + z)^2}\,dz.

Resposta

dw = \frac{y z\,(y + z)}{(x + y + z)^2}\,dx + \frac{x z\,(x + z)}{(x + y + z)^2}\,dy + \frac{x y\,(x + y)}{(x + y + z)^2}\,dz.

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