Determine os valores de m na equação x^2+(m-2) x+1-m=0 de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação
x^2 + (m-2)x + 1 - m = 0
e queremos encontrar os valores de m tais que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes dessa equação. Para isso, vamos usar duas ideias: a condição de existência de raízes reais (discriminante) e o teste de sinal da função em x=2.

Passo 2

Para que a equação tenha raízes reais, o discriminante deve ser não negativo. Calculamos
De<a = (m-2)^2 - 4cdot1cdot(1-m)
e obtemos
De<a = m^2 - 4m + 4 - 4 + 4m = m^2
Como De<a = m^2>=0 para todo m, a equação sempre tem raízes reais.

Passo 3

O coeficiente do termo quadrático é a=1>0, logo a parábola abre para cima. Para que o ponto x=2 fique entre as raízes, basta que
f(2)<0,
onde f(x)=x^2 + (m-2)x + 1 - m. Calculamos
f(2) = 2^2 + (m-2)cdot2 + 1 - m = 4 + 2m -4 + 1 - m = m + 1
Portanto a condição é
m + 1 < 0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade m + 1 < 0, obtemos
m < -1
Como já vimos que o discriminante é não negativo para todo m, a única restrição vem dessa desigualdade.

Resposta

m < -1

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