Ache duas frações ordinárias de denominadores 5 e 7 cuja soma é igual a 2635

Passo 1

O enunciado pede para encontrar duas frações ordinárias com denominadores 5 e 7 cuja soma seja igual a tfrac2635. O conteúdo aqui é resolução de uma equação linear em inteiros (equação diofantina) para os numeradores dessas frações.

Passo 2

Sejam as frações tfraca5 e tfracb7. A condição de soma é
a5 + b7 = 2635
Multiplicando ambos os lados por 35 para eliminar os denominadores, obtemos
7a + 5b = 26

Passo 3

Para resolver a equação em inteiros 7a + 5b = 26, notamos que gcd(7,5)=1 e divide 26, então há solução inteira. Reduzindo módulo 5:
7a equiv 26 pmod5 Longrightarrow 2a equiv 1 pmod5 Longrightarrow a equiv 3 pmod5
Logo uma solução particular é a0 = 3. Substituindo em 7a+5b=26
7cdot 3 + 5b = 26 Longrightarrow 21 + 5b = 26 Longrightarrow b = 1
A solução geral é então
a = 3 + 5k, b = 1 - 7k,
com kinZ.

Passo 4

Para obter numeradores inteiros simples e não negativos, escolhemos k=0. Isso dá
a = 3, b = 1
e as frações
tfrac35 e tfrac17. Conferindo:
35 + 17 = 21 + 535 = 2635

Resposta

35 e 17.

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