Ache duas fraçōes ordinárias positivas, respectivamente iguais a 12 e 45 de maneira que a soma de seus termos (numerador e denominador) coincida e seja a menor possível.

Passo 1

O enunciado pede duas frações positivas equivalentes a tfrac12 e a tfrac45 tais que a soma do numerador com o denominador seja a mesma em ambas e seja mínima. Vamos parametrizar cada fração equivalente e igualar essas somas.

Passo 2

Se uma fração a b é equivalente a 12, existe kinN tal que
a = k, b = 2k,
e a soma dos termos é
a + b = k + 2k = 3k
De modo análogo, se c d é equivalente a 45, existe minN tal que
c = 4m, d = 5m,
e
c + d = 4m + 5m = 9m

Passo 3

Queremos que as duas somas coincidam, isto é,
3k = 9m
Daí segue
k = 3m

Passo 4

Para obter a soma mínima, escolhemos o menor m positivo, isto é, m=1. Então
k = 3cdot1 = 3,
e a soma comum vale
3k = 3cdot3 = 9
As frações procuradas ficam
a b = 36 e c d = 45,
cada uma com soma do numerador e denominador igual a 9.

Resposta

As frações são tfrac36 e tfrac45.

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