Mostre que os seguintes polinómios não admitem raízes racionais:
g(x)=x^3-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio
g(x)=x^3-2
não possui raízes racionais. Vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que diz que se pq (em forma irredutível, q>0) é raiz de um polinômio com coeficiente líder an e termo constante a0, então p divide a0 e q divide an.

Passo 2

Aqui an=1 e a0=-2. Portanto:
  • p deve dividir -2, logo pinpm1,pm2.
  • q deve dividir 1, logo qinpm1.
    Assim, os únicos candidatos a raízes racionais são
pm1, pm2

Passo 3

Basta avaliar g(x) nesses candidatos:
g(1)=1^3-2=-1neq0,
g(-1)=(-1)^3-2=-3neq0,
g(2)=2^3-2=6neq0,
g(-2)=(-2)^3-2=-10neq0
Nenhum desses valores zera g(x).

Resposta

O polinômio g(x)=x^3-2 não admite raízes racionais.

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