Mostre que 1000 ! termina em 249 zeros.

Sugestão: Exemplo 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o fatorial de 1000 termina com 249 zeros. O conteúdo aqui é entender como contar quantas vezes o fator 10 aparece na decomposição de 1000!. Como 10=2cdot5 e há muito mais fatores 2 do que 5 em 1000!, basta contar quantas vezes o fator 5 aparece na fatoração de 1000!.

Passo 2

Para um inteiro n, a quantidade de fatores 5 em n! é dada pela fórmula
v5(n!) ;=;sumk=1^inftylfloorn5^krfloor,
onde a soma se interrompe quando 5^k>n.

Passo 3

Aplicando essa fórmula a n=1000, calculamos cada termo até que 5^k>1000:
lfloortfrac10005rfloor = 200, lfloortfrac100025rfloor = 40, lfloortfrac1000125rfloor = 8, lfloortfrac1000625rfloor = 1,
e para 5^5=3125>1000 já paramos.

Passo 4

Somando todos esses contribuintes de fatores 5, obtemos
200 + 40 + 8 + 1 = 249
Isso significa que 1000! tem 249 fatores 5, logo 249 fatores 10, ou seja, termina em 249 zeros.

Resposta

1000! termina em 249 zeros.

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