Ache a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P=(x, y) que se move de tal modo que.
sua distância a (0,0) seja o dobro de sua distância a (a, 0);

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico do ponto P=(x,y) tal que sua distância a (0,0) seja o dobro da sua distância a (a,0). O conteúdo é geometria analítica de lugares geométricos e vamos usar a fórmula da distância euclidiana no plano:
dl(P,(x0,y0)r)=raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2

Passo 2

Escrevendo a condição em termos de P:
raizx^2+y^2=2raiz(x-a)^2+y^2
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
x^2+y^2=4l((x-a)^2+y^2r)

Passo 3

Expandindo o lado direito e trazendo tudo para um só membro:
x^2+y^2=4x^2-8ax+4a^2+4y^2,
3x^2+3y^2-8ax+4a^2=0

Passo 4

Para escrever em forma canônica, completamos o quadrado em x. Primeiro:
3l(x^2+y^2r)-8ax+4a^2=0 Longrightarrow 3l(x^2-tfrac8a3x+y^2r)+4a^2=0
Dentro dos colchetes, adicionamos e subtraímos tfrac16a^29:
3l[(x-tfrac4a3)^2-tfrac16a^29+y^2r]+4a^2=0 ;Longrightarrow; 3(x-tfrac4a3)^2+3y^2-tfrac16a^23+4a^2=0
Reagrupando e dividindo por 3:
3(x-tfrac4a3)^2+3y^2=tfrac4a^23 Longrightarrow (x-tfrac4a3)^2+y^2=tfrac4a^29

Resposta

(x-tfrac4a3)^2+y^2=tfrac4a^29

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