Os pontos
e
são os vértices de um triângulo arbitrário que está localizado numa posição conveniente com relação ao sistema de coordenadas.
(a) Ache a equação da reta que passa por cada vértice e é perpendicular ao lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto.
(b) Ache a equação da mediatriz de cada lado e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Por que esse fato é geometricamente óbvio?
(c) Ache as equações das retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Verifique também que esse ponto está a dois terços do caminho de cada vértice para o ponto médio do lado oposto.
(a) Ache a equação da reta que passa por cada vértice e é perpendicular ao lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto.
(b) Ache a equação da mediatriz de cada lado e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Por que esse fato é geometricamente óbvio?
(c) Ache as equações das retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Verifique também que esse ponto está a dois terços do caminho de cada vértice para o ponto médio do lado oposto.
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo cujos vértices são
,
e
.
(a) Queremos as equações das alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto) e mostrar que elas se encontram num ponto único (ortocentro).
(b) Queremos as equações das mediatrizes (retas perpendiculares a cada lado que passam pelo ponto médio desse lado) e mostrar que elas se encontram num único ponto (circuncentro).
(c) Queremos as equações das medianas (retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto), mostrar que se interceptam num único ponto (baricentro) e que este está a do trajeto de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.
(a) Queremos as equações das alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto) e mostrar que elas se encontram num ponto único (ortocentro).
(b) Queremos as equações das mediatrizes (retas perpendiculares a cada lado que passam pelo ponto médio desse lado) e mostrar que elas se encontram num único ponto (circuncentro).
(c) Queremos as equações das medianas (retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto), mostrar que se interceptam num único ponto (baricentro) e que este está a
Passo 2
(a) Altura desde
ao lado
:
o lado liga
a
, tem inclinação
o lado
logo a reta perpendicular tem inclinação
.
Como passa por , sua equação é
Como passa por
Altura desde
ao lado
:
o lado liga
a
, tem inclinação
,
logo a perpendicular tem inclinação
.
Passando por ,
o lado
logo a perpendicular tem inclinação
Passando por
Altura desde
ao lado
:
o lado é sobre o eixo
(inclinação
),
então a altura é a reta vertical
o lado
então a altura é a reta vertical
Passo 3
Para achar o ponto de interseção das duas primeiras altitudes, resolvemos
Multiplicando por
e rearranjando:
Então
Logo as três altitudes passam pelo ponto
o ortocentro.
Passo 4
(b) Mediatriz do lado
com vértices
e
:
o ponto médio é e como
é horizontal, a mediatriz é
o ponto médio é
Mediatriz de
entre
e
:
ponto médio , inclinação de
é
,
logo a mediatriz tem inclinação e equação
ponto médio
logo a mediatriz tem inclinação
Mediatriz de
entre
e
:
ponto médio , inclinação de
é
,
logo a mediatriz tem inclinação e equação
ponto médio
logo a mediatriz tem inclinação
Passo 5
Interseção da mediatriz de
(
) com a de
:
substituindo em
substituindo
obtemos
Pode verificar que a mediatriz de
também passa por este ponto, que é o circuncentro
Passo 6
Geometricamente é óbvio que as três mediatrizes se interceptam num único ponto porque esse ponto é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo (circuncentro), e toda circunferência tem seu centro equidistante dos seus extremos, o que caracteriza as mediatrizes.
Passo 7
(c) Mediana de
ao ponto médio de
, que é
:
o coeficiente angular é
,
portanto
o coeficiente angular é
portanto
Mediana de
ao ponto médio de
, que é
:
coeficiente angular
,
logo
coeficiente angular
logo
Mediana de
ao ponto médio de
, que é
:
coeficiente angular
,
logo
coeficiente angular
logo
Passo 8
Interseção das duas primeiras medianas:
Cancelando
e rearranjando,
Verifica-se que a mediana desde
também passa por
que é o baricentro.
Passo 9
Para a mediana de
ao ponto médio de
,
o vetor de até esse ponto é
.
O baricentro
é exatamente desse vetor, mostrando que
fica a do caminho de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.
o vetor de
O baricentro
é exatamente
fica a
Resposta
(a) As alturas são
concorrentes em
.
(b) As mediatrizes são
(b) As mediatrizes são
concorrentes em
.
Geometricamente óbvio porque é o centro da circunferência circunscrita.
(c) As medianas são
Geometricamente óbvio porque é o centro da circunferência circunscrita.
(c) As medianas são
concorrentes em
,
e está a
do trajeto de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.
e