Os pontos (0,0),(a, 0) e (b, c) são os vértices de um triângulo arbitrário que está localizado numa posição conveniente com relação ao sistema de coordenadas.
(a) Ache a equação da reta que passa por cada vértice e é perpendicular ao lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto.
(b) Ache a equação da mediatriz de cada lado e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Por que esse fato é geometricamente óbvio?
(c) Ache as equações das retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto e mostre algebricamente que essas três retas se interceptam num único ponto. Verifique também que esse ponto está a dois terços do caminho de cada vértice para o ponto médio do lado oposto.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo cujos vértices são
(0,0), (a,0) e (b,c).
(a) Queremos as equações das alturas (retas que passam por cada vértice e são perpendiculares ao lado oposto) e mostrar que elas se encontram num ponto único (ortocentro).
(b) Queremos as equações das mediatrizes (retas perpendiculares a cada lado que passam pelo ponto médio desse lado) e mostrar que elas se encontram num único ponto (circuncentro).
(c) Queremos as equações das medianas (retas que passam por cada vértice e pelo ponto médio do lado oposto), mostrar que se interceptam num único ponto (baricentro) e que este está a 2/3 do trajeto de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.

Passo 2

(a) Altura desde A=(0,0) ao lado BC:
o lado BC liga (a,0) a (b,c), tem inclinação
mBC=c-0,b-a,=cb-a,
logo a reta perpendicular tem inclinação
mA=-1mBC=-b-ac.
Como passa por (0,0), sua equação é
y=-b-ac,x
Altura desde B=(a,0) ao lado AC:
o lado AC liga (0,0) a (b,c), tem inclinação
mAC=cb,
logo a perpendicular tem inclinação
mB=-bc.
Passando por (a,0),
y=-bc,(x-a)
Altura desde C=(b,c) ao lado AB:
o lado AB é sobre o eixo x (inclinação 0),
então a altura é a reta vertical
x=b

Passo 3

Para achar o ponto de interseção das duas primeiras altitudes, resolvemos
-b-ac,x ;=; -bc(x-a)
Multiplicando por c e rearranjando:
-(b-a)x=-b(x-a);Longrightarrow;ax=ab;Longrightarrow;x=b
Então
y=-b-ac,b=-b(b-a)c
Logo as três altitudes passam pelo ponto
H=l(b,,-b(b-a)cr),
o ortocentro.

Passo 4

(b) Mediatriz do lado AB com vértices (0,0) e (a,0):
o ponto médio é l(tfraca2,0r) e como AB é horizontal, a mediatriz é
x=a2
Mediatriz de AC entre (0,0) e (b,c):
ponto médio l(tfracb2,tfracc2r), inclinação de AC é c/b,
logo a mediatriz tem inclinação -b/c e equação
y-c2=-bcl(x-b2r)
Mediatriz de BC entre (a,0) e (b,c):
ponto médio l(tfraca+b2,tfracc2r), inclinação de BC é c/(b-a),
logo a mediatriz tem inclinação -tfracb-ac e equação
y-c2 =-b-acl(x-a+b2r)

Passo 5

Interseção da mediatriz de AB ( x=a/2) com a de AC:
substituindo x=a/2 em
y-c2 =-bcl(a2-b2r) =-bc,a-b2 =b(b-a)2c,
obtemos
y =c2+b(b-a)2c =c^2+b^2-ab2c
Pode verificar que a mediatriz de BC também passa por este ponto, que é o circuncentro
O=l(tfraca2,,tfracc^2+b^2-ab2cr)

Passo 6

Geometricamente é óbvio que as três mediatrizes se interceptam num único ponto porque esse ponto é o centro da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo (circuncentro), e toda circunferência tem seu centro equidistante dos seus extremos, o que caracteriza as mediatrizes.

Passo 7

(c) Mediana de A=(0,0) ao ponto médio de BC, que é
l(tfraca+b2,tfracc2r):
o coeficiente angular é
c/2-0(a+b)/2-0=ca+b,
portanto
y=ca+b,x
Mediana de B=(a,0) ao ponto médio de AC, que é
l(tfracb2,tfracc2r):
coeficiente angular
c/2-0b/2-a=cb-2a,
logo
y=cb-2a,(x-a)
Mediana de C=(b,c) ao ponto médio de AB, que é
l(tfraca2,0r):
coeficiente angular
0-ca/2-b=-2ca-2b,
logo
y-c=-2c,a-2b,(x-b)

Passo 8

Interseção das duas primeiras medianas:
ca+b,x =cb-2a(x-a)
Cancelando cneq0 e rearranjando,
(b-2a)x=(a+b)(x-a) Longrightarrow 3a,x=a(a+b) Longrightarrow
x=a+b3, y=c,a+b,,a+b3 =c3
Verifica-se que a mediana desde C também passa por
G=l(tfraca+b3,,tfracc3r),
que é o baricentro.

Passo 9

Para a mediana de A ao ponto médio de BC,
o vetor de A até esse ponto é
l(tfraca+b2,tfracc2r).
O baricentro G=(tfraca+b3,tfracc3)
é exatamente tfrac23 desse vetor, mostrando que G
fica a 2/3 do caminho de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.

Resposta

(a) As alturas são
y=-b-ac,x, y=-bc(x-a), x=b,
concorrentes em
H=l(b,,-b(b-a)cr).
(b) As mediatrizes são
x=a2, y-c2=-bcl(x-b2r), y-c2=-b-acl(x-a+b2r),
concorrentes em
O=l(tfraca2,tfracc^2+b^2-ab2cr).
Geometricamente óbvio porque é o centro da circunferência circunscrita.
(c) As medianas são
y=ca+b,x, y=cb-2a(x-a), y-c=-2ca-2b(x-b),
concorrentes em
G=l(tfraca+b3,tfracc3r),
e G está a 2/3 do trajeto de cada vértice ao ponto médio do lado oposto.

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