Coloque a figura, em cada caso, numa posição conveniente relativamente ao sistema de coordenadas, e prove algebricamente a afirmação:
Em qualquer triângulo, 4 vezes a soma dos quadrados das medianas é igual a 3 vezes a soma dos quadrados dos lados.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em qualquer triângulo, vale a relação
4l(ma^2 + mb^2 + mc^2r) ;=;3l(a^2 + b^2 + c^2r),
onde a,b,c são os comprimentos dos lados e ma,mb,mc são os comprimentos das medianas opostas a esses lados. Vamos usar geometria analítica: colocamos os vértices em coordenadas convenientes e calculamos quadrados de comprimentos por fórmulas de distância.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0), B=(c,0), C=(u,v),
de modo que
c^2 = AB^2, b^2 = CA^2 = u^2 + v^2, a^2 = BC^2 = (u - c)^2 + v^2

Passo 3

As medianas unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Calculemos seus quadrados:
  1. Mediana de A em direção a BC: ponto médio de BC é
MA=l(tfracu+c2,;tfracv2r),
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ma^2 = AMA^2 = l(tfracu+c2r)^2 + l(tfracv2r)^2 = (u+c)^24 + v^24
  1. Mediana de B em direção a CA: ponto médio de CA é
MB=l(tfracu2,;tfracv2r),
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mb^2 = BMB^2 = l(tfracu2 - cr)^2 + l(tfracv2r)^2 = (u-2c)^24 + v^24
  1. Mediana de C em direção a AB: ponto médio de AB é
MC=l(tfracc2,0r),
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mc^2 = CMC^2 = l(u - tfracc2r)^2 + v^2 = (2u-c)^24 + v^2

Passo 4

Somamos os quadrados das medianas:
ma^2 + mb^2 + mc^2 = (u+c)^2 + (u-2c)^2 + (2u-c)^24 + l(tfracv^24 + tfracv^24 + v^2r)
Expandindo os termos em u,c obtemos
(u+c)^2 + (u-2c)^2 + (2u-c)^2 =6l(u^2 - u,c + c^2r)
e
tfracv^24 + tfracv^24 + v^2 = tfrac32,v^2
Assim
ma^2 + mb^2 + mc^2 = 6(u^2 - u,c + c^2)4 + 32,v^2 = 32l(u^2 - u,c + c^2 + v^2r)
Por outro lado,
a^2 + b^2 + c^2 = l((u-c)^2+v^2r) + (u^2+v^2) + c^2 =2l(u^2 - u,c + c^2 + v^2r)
Logo
ma^2 + mb^2 + mc^2 = 32,a^2+b^2+c^22 = 34,(a^2 + b^2 + c^2)

Passo 5

Basta multiplicar ambos os lados por 4:
4l(ma^2 + mb^2 + mc^2r) =3,(a^2 + b^2 + c^2),
que é exatamente a afirmação desejada.

Resposta

Foi demonstrado que
4l(ma^2 + mb^2 + mc^2r)=3,(a^2+b^2+c^2)
para qualquer triângulo.

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