Coloque a figura, em cada caso, numa posição conveniente relativamente ao sistema de coordenadas, e prove algebricamente a afirmação:
Em qualquer triângulo, 4 vezes a soma dos quadrados das medianas é igual a 3 vezes a soma dos quadrados dos lados.
Em qualquer triângulo, 4 vezes a soma dos quadrados das medianas é igual a 3 vezes a soma dos quadrados dos lados.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em qualquer triângulo, vale a relação
onde
são os comprimentos dos lados e
são os comprimentos das medianas opostas a esses lados. Vamos usar geometria analítica: colocamos os vértices em coordenadas convenientes e calculamos quadrados de comprimentos por fórmulas de distância.
Passo 2
Escolhemos
de modo que
Passo 3
As medianas unem cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Calculemos seus quadrados:
- Mediana de
em direção a : ponto médio de é
logo
- Mediana de
em direção a : ponto médio de é
logo
- Mediana de
em direção a : ponto médio de é
logo
Passo 4
Somamos os quadrados das medianas:
Expandindo os termos em
obtemos
e
Assim
Por outro lado,
Logo
Passo 5
Basta multiplicar ambos os lados por
:
que é exatamente a afirmação desejada.
Resposta
Foi demonstrado que
para qualquer triângulo.