3.2.36 Ache a inversa de
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz A de ordem 3. O conteúdo aqui é “inversão de matriz”, que podemos fazer calculando primeiro o determinante de A e depois a matriz adjunta (ou de cofatores), para enfim usar
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).

Passo 2

Calcular o determinante de A,
\det(A) = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =3(8-1)-2(8-1)+1(2-2) =21-14+0 =7.

Passo 3

Montar a matriz de cofatores C. Cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor complementar. Isso resulta em
C = \begin{pmatrix} \;7 & -7 & \;0\\\\ -7 & 11 & -1\\\ \;0 & -1 & \;2 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A) = C^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usando a fórmula da inversa,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

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