3.2.36 Ache a inversa de \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 1 \\\\ 2 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right) Passo 1O enunciado pede a inversa da matriz A de ordem 3. O conteúdo aqui é “inversão de matriz”, que podemos fazer calculando primeiro o determinante de A e depois a matriz adjunta (ou de cofatores), para enfim usar A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A). Passo 2Calcular o determinante de A, \det(A) = \det\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 2 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}. Expandindo pela primeira linha: \det(A) =3\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =3(8-1)-2(8-1)+1(2-2) =21-14+0 =7. Passo 3Montar a matriz de cofatores C. Cada entrada C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor complementar. Isso resulta em C = \begin{pmatrix} \;7 & -7 & \;0\\\\ -7 & 11 & -1\\\ \;0 & -1 & \;2 \end{pmatrix}. A adjunta é a transposta de C: \operatorname{adj}(A) = C^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. Passo 4Usando a fórmula da inversa, A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. Resposta A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & -7 & 0\\\\ -7 & 11 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETACálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 3.2.36Exercícios de Livros Relacionados3.2.38 Matrizes têm uma utilidade muito grande para permanecer como propriedade exclusiva dos físicos. Elas podem aparecer onde quer que haja relações lineares. Por exemplo, em um estudo de movimento populacional, a fração inicial de uma população fixa em cada uma das n áreas (ou indústrias ou religiões etc.) é representada por um vetor coluna de n componentes P. O movimento de pessoas de uma área para outra em um tempo dado é descrito por uma matriz (estocástica) n times n T. Aqui, Ti j é a fração da população na j-ésima área que passa para a i-ésima área. (As frações que não passam são cobertas por i=j.) Com P descrevendo a distribuição inicial da população, a distribuição final da população é dada pela equação matricial T P=Q. Por essa definição, sumi=1^n Pi=1. (a) Mostre que a conservação de pessoas requer que sumi=1^n Ti j=1, j=1,2, ldots, n (b) Prove que sumi=1^n Qi=1 preserva a conservação de pessoas. 3.2.25 Mostre que o traço (A B C)=\operatorname{traço}(C B A)̧ se qualquer das três matrizes comutam. 3.2.6 (a) A equação matricial A^{2}=0 não implica A=0. Mostre que a matriz mais geral 2 \times 2 cujo quadrado é zero pode ser escrita como \left(\begin{array}{cc} a b & b^{2} \\\\ -a^{2} & -a b \end{array}\right) em que a e b são números reais ou complexos. (b) Se \mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}, em geral \operatorname{det} C \neq \operatorname{det} A+\operatorname{det} B . Construa um exemplo numérico específico para ilustrar essa desigualdade. 3.2.7 Dadas as três matrizes \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right), ache todos os produtos possíveis de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , dois por vez, incluindo quadrados. Expresse suas respostas em termos de A, B e C, e 1, a matriz unitária. Essas três matrizes, juntamente com a matriz unitária, formam uma representação de um grupo matemático, o Vierergruppe (veja a Capítulo 4). 3.2.23 Se A é uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais diferentes, e A e B comutam, mostre que B é diagonal.