3.2.8 Dada

\mathrm{K}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & i \\\\ -i & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right),
mostre que
\mathrm{K}^{n}=\mathrm{KKK} \cdots(n \text { fatores })=1
(com a escolha adequada de n, n \neq 0 ).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i\\\\ -i & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e pede para mostrar que existe um inteiro n\neq0 tal que
K^n = I,
onde I é a matriz identidade 3\times3.
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matriz e determinação da ordem de um elemento em um grupo matricial.

Passo 2

Vamos calcular
K^2 = K\cdot K.
Fazendo a multiplicação de matrizes termo a termo, obtemos
K^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & i\\\\ -i & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i\\\\ -i & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos
K^3 = K^2\cdot K.
Usando o resultado de K^2 e multiplicando por K, chega-se a
K^3 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & i\\\\ -i & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I.

Passo 4

Como \;K^3 = -I, elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
K^6 = (K^3)^2 = (-I)^2 = I.
Logo, tomando n=6, temos K^n = I com n\neq0.

Resposta

O menor inteiro positivo n tal que K^n = I é n=6.

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