3.2.8 Dada

K=(ccc 0 & 0 & i -i & 0 & 0 0 & -1 & 0 ),
mostre que
K^n=KKK cdots(n fatores )=1
(com a escolha adequada de n, n neq 0 ).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
K = 0 & 0 & i -i & 0 & 0 0 & -1 & 0
e pede para mostrar que existe um inteiro nneq0 tal que
K^n = I,
onde I é a matriz identidade 3times3.
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matriz e determinação da ordem de um elemento em um grupo matricial.

Passo 2

Vamos calcular
K^2 = Kcdot K
Fazendo a multiplicação de matrizes termo a termo, obtemos
K^2 = 0 & 0 & i -i & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & i -i & 0 & 0 0 & -1 & 0 = 0 & -i & 0 0 & 0 & 1 i & 0 & 0

Passo 3

Agora calculamos
K^3 = K^2cdot K
Usando o resultado de K^2 e multiplicando por K, chega-se a
K^3 = 0 & -i & 0 0 & 0 & 1 i & 0 & 0 0 & 0 & i -i & 0 & 0 0 & -1 & 0 = -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 = -I

Passo 4

Como ;K^3 = -I, elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
K^6 = (K^3)^2 = (-I)^2 = I
Logo, tomando n=6, temos K^n = I com nneq0.

Resposta

O menor inteiro positivo n tal que K^n = I é n=6.

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