3.2.8 Dada
mostre que
K^n=KKK cdots(n fatores )=1
(com a escolha adequada de
n, n neq 0 ).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para mostrar que existe um inteiro
nneq0 tal que
onde
I é a matriz identidade
3times3 .
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matriz e determinação da ordem de um elemento em um grupo matricial.
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matriz e determinação da ordem de um elemento em um grupo matricial.
Passo 2
Vamos calcular
Fazendo a multiplicação de matrizes termo a termo, obtemos
Passo 3
Agora calculamos
Usando o resultado de
K^2 e multiplicando por
K , chega-se a
Passo 4
Como
;K^3 = -I , elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Logo, tomando
n=6 , temos
K^n = I com
nneq0 .
Resposta
O menor inteiro positivo
n tal que
K^n = I é
n=6 .