3.2.15 Uma descrição de partículas de spin 1 usa as matrizes
\mathrm{M}_{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{M}_{y}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -i & 0 \\\ i & 0 & -i \\\\ 0 & i & 0 \end{array}\right)
e
\mathrm{M}_{z}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
Mostre que
(a) \left[\mathrm{M}_{x}, \mathrm{M}_{y}\right]=i \mathrm{M}_{z}, e assim por diante { }^{12} (permutação cíclica de índices). Usando o símbolo de Levi-Civita da Seção 2.9, podemos escrever
\left[\mathrm{M}_{p}, \mathrm{M}_{q}\right]=i \varepsilon_{p q r} \mathrm{M}_{r}
(b) \mathrm{M}^{2} \equiv \mathrm{M}_{x}^{2}+\mathrm{M}_{y}^{2}+\mathrm{M}_{z}^{2}=21_{3}, em que 1_{3} é a matriz unidade 3 \times 3.
(c) \left[\mathrm{M}^{2}, \mathrm{M}_{i}\right]=0,
\left[\mathrm{M}_{z}, \mathrm{~L}^{+}\right]=\mathrm{L}^{+},
\left[\mathrm{L}^{+}, \mathrm{L}^{-}\right]=2 \mathrm{M}_{z},
em que
\mathrm{L}^{+} \equiv \mathrm{M}_{x}+i \mathrm{M}_{y},
\mathrm{L}^{-} \equiv \mathrm{M}_{x}-i \mathrm{M}_{y}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes de spin 1
M_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&1&0\\\ 1&0&1\\\ 0&1&0\end{pmatrix},\quad M_y=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&-i&0\i&0&-i\\\ 0&i&0\end{pmatrix},\quad M_z=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&-1\end{pmatrix},
e pede:
(a) mostrar \bigl[M_x,M_y\bigr]=iM_z (e permutações cíclicas);
(b) calcular M^2=M_x^2+M_y^2+M_z^2;
(c) provar que [M^2,M_i]=0, [M_z,L^+]=L^+ e [L^+,L^-]=2M_z, com L^\pm=M_x\pm iM_y.
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes, propriedades de comutadores e o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Calcular \bigl[M_x,M_y\bigr]=M_xM_y - M_yM_x. Primeiro montamos os produtos:
M_xM_y=\frac1{2}\begin{pmatrix}0&1&0\\\ 1&0&1\\\ 0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&-i&0\i&0&-i\\\ 0&i&0\end{pmatrix} =\frac1{2}\begin{pmatrix}i&0&-i\\\ 0&0&0\i&0&-i\end{pmatrix},
M_yM_x=\frac1{2}\begin{pmatrix}0&-i&0\i&0&-i\\\ 0&i&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 1&0&1\\\ 0&1&0\end{pmatrix} =\frac1{2}\begin{pmatrix}-i&0&i\\\ 0&0&0\\\ -i&0&i\end{pmatrix}.
Subtraindo,
[M_x,M_y]=M_xM_y - M_yM_x =\frac1{2}\begin{pmatrix}2i&0&-2i\\\ 0&0&0\\\ 2i&0&-2i\end{pmatrix} =i\begin{pmatrix}1&0&-1\\\ 0&0&0\\\ 1&0&-1\end{pmatrix} =i\,M_z.
Pelos mesmos cálculos cíclicos obtemos \bigl[M_y,M_z\bigr]=iM_x e \bigl[M_z,M_x\bigr]=iM_y, ou em notação com Levi-Civita
[M_p,M_q]=i\,\varepsilon_{pqr}\,M_r.

Passo 3

Vamos calcular cada quadrado e somar:
\text{1) } M_x^2 = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}^2 = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
\text{2) } M_y^2 = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}0 & -i & 0 \\\ i & 0 & -i \\\\ 0 & i & 0\end{pmatrix}^2 = \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}.
\text{3) } M_z^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Somando:
M_x^2 + M_y^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad M_x^2 + M_y^2 + M_z^2 = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = 2\,1_3.

Passo 4

(c 1) Como M^2 é combinação simétrica de M_iM_j, ele comuta com cada M_i (propriedade geral de álgebras de Lie compactas), logo
[M^2,M_i]=0.
(c 2) Para [M_z,L^+], note
[M_z,L^+]=[M_z,M_x]+i[M_z,M_y] =iM_y + i(-iM_x)=M_x + iM_y=L^+.
(c 3) Para [L^+,L^-], expandimos
[L^+,L^-]=[M_x+iM_y,\;M_x - iM_y] =-i[M_x,M_y]+i[M_y,M_x] =-i(iM_z)+i(-iM_z)=2M_z.

Resposta

(a) \displaystyle [M_p,M_q]=i\,\varepsilon_{pqr}\,M_r.
(b) \displaystyle M^2=M_x^2+M_y^2+M_z^2=2\,1_{3}.
(c)
\displaystyle [M^2,M_i]=0, \displaystyle [M_z,L^+]=L^+, \displaystyle [L^+,L^-]=2\,M_z.

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