Mostre que
(a) \left[\mathrm{M}_{x}, \mathrm{M}_{y}\right]=i \mathrm{M}_{z}, e assim por diante { }^{12} (permutação cíclica de índices). Usando o símbolo de Levi-Civita da Seção 2.9, podemos escrever
e pede:
(a) mostrar \bigl[M_x,M_y\bigr]=iM_z (e permutações cíclicas);
(b) calcular M^2=M_x^2+M_y^2+M_z^2;
(c) provar que [M^2,M_i]=0, [M_z,L^+]=L^+ e [L^+,L^-]=2M_z, com L^\pm=M_x\pm iM_y.
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes, propriedades de comutadores e o símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Calcular \bigl[M_x,M_y\bigr]=M_xM_y - M_yM_x. Primeiro montamos os produtos: