3.2.34 Ache as matrizes \mathrm{M}_{L}, tais que o produto \mathrm{M}_{L} \mathrm{~A} será A , porém com:
a i-ésima linha multiplicada por uma constante k\left(a_{i j} \rightarrow k a_{i j}, j=1,2,3, \ldots\right);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz elementar \mathrm{M}_{L} (de dimensão m\times m) de modo que, para qualquer matriz A de tamanho m\times n, o produto
\mathrm{M}_{L}\,A
seja igual a A, exceto que a i-ésima linha de A é multiplicada pela constante k. O conteúdo usado aqui é que multiplicar uma matriz pela esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar uma operação elementar sobre as linhas de A.

Passo 2

Lembramos que a operação elemental “multiplicar a linha i por k” é traduzida numa matriz igual à identidade, exceto no elemento da diagonal posição (i,i), que passa de 1 para k. Chamaremos de I_{m} a matriz identidade de ordem m.

Passo 3

Definimos então \mathrm{M}_{L}\) por \[\bigl(\mathrm{M}_{L}\bigr)_{ab} \;=\; \begin{cases} k, & \text{se }a=b=i,\\\\ 1, & \text{se }a=b\neq i,\\\\ 0, & \text{se }a\neq b. \end{cases}
Em outras palavras,
\mathrm{M}_{L} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\\ & \ddots& & & \\\ & & k & & \\\ & & & \ddots & \\\ & & & & 1 \end{pmatrix},
com k\] na posição \((i,i) e 1 nas demais posições da diagonal.

Resposta

\mathrm{M}_{L} = \operatorname{diag}(1,\dots,1,k,1,\dots,1),
onde o valor k está na i-ésima entrada diagonal e todas as outras entradas diagonais valem 1.

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