3.2.34 Ache as matrizes \mathrm{M}_{L}, tais que o produto \mathrm{M}_{L} \mathrm{~A} será A , porém com:
a i-ésima linha multiplicada por uma constante k\left(a_{i j} \rightarrow k a_{i j}, j=1,2,3, \ldots\right);
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz elementar \mathrm{M}_{L} (de dimensão m\times m) de modo que, para qualquer matriz A de tamanho m\times n, o produto
\mathrm{M}_{L}\,A
seja igual a A, exceto que a i-ésima linha de A é multiplicada pela constante k. O conteúdo usado aqui é que multiplicar uma matriz pela esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar uma operação elementar sobre as linhas de A.
Passo 2
Lembramos que a operação elemental “multiplicar a linha i por k” é traduzida numa matriz igual à identidade, exceto no elemento da diagonal posição (i,i), que passa de 1 para k. Chamaremos de I_{m} a matriz identidade de ordem m.
Passo 3
Definimos então \mathrm{M}_{L}\) por
\[\bigl(\mathrm{M}_{L}\bigr)_{ab} \;=\; \begin{cases} k, & \text{se }a=b=i,\\\\ 1, & \text{se }a=b\neq i,\\\\ 0, & \text{se }a\neq b. \end{cases}