3.2.6 (a) A equação matricial A^2=0 não implica A=0. Mostre que a matriz mais geral 2 times 2 cujo quadrado é zero pode ser escrita como
(cc a b & b^2 -a^2 & -a b )
em que a e b são números reais ou complexos.
(b) Se C=A+B, em geral
det C neq det A+det B
Construa um exemplo numérico específico para ilustrar essa desigualdade.

Passo 1

Beleza, resumindo o enunciado: na parte (a) queremos caracterizar todas as matrizes 2times2 que satisfazem
A^2 = 0,
mostrando que toda solução pode ser escrita como
ab & b^2-a^2 & -ab
Na parte (b) precisamos dar um exemplo numérico de matrizes A e B tais que, ao definir C=A+B, fique
det Cneqdet A+det B. O conteúdo envolve potências de matrizes e cálculo de determinantes.

Passo 2

Para (a), seja
Então
o que gera o sistema

Passo 3

Para escapar da solução trivial p=q=r=s=0, notamos que se p+sneq0 então q=r=0 e daí p^2=s^2=0, ou seja volta a ser trivial. Logo precisamos de
p + s = 0, s=-p,
e as duas equações não triviais se reduzem a
qr = -p^2

Passo 4

Bast a escolher dois parâmetros livres. Seja b qualquer e defina q=b^2. Para p pegamos p=ab. Então
r = -p^2q = -(ab)^2b^2 = -a^2, s = -p = -ab
Assim a forma geral de qualquer 2times2 nilpotente de índice 2 é
A = ab & b^2-a^2 & -ab,
com a,binR (ou C).

Passo 5

Para (b), um exemplo simples é escolher
A = 1 & 00 & 0, B = 0 & 00 & 1

det A = 0, det B = 0, mas
C = A + B = 1 & 00 & 1 Longrightarrow det C = 1 neq 0 + 0

Resposta

(a) A=ab & b^2-a^2 & -ab, com a,binR (ou C).
(b) Exemplo:
A=1 & 00 & 0, B=0 & 00 & 1, det(A+B)=1neqdet A+det B=0

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