3.2.6 (a) A equação matricial
não implica
. Mostre que a matriz mais geral
cujo quadrado é zero pode ser escrita como
em que
e
são números reais ou complexos.
(b) Se
, em geral
Construa um exemplo numérico específico para ilustrar essa desigualdade.
(b) Se
Passo 1
Beleza, resumindo o enunciado: na parte (a) queremos caracterizar todas as matrizes
que satisfazem
mostrando que toda solução pode ser escrita como
Na parte (b) precisamos dar um exemplo numérico de matrizes
e
tais que, ao definir
, fique
. O conteúdo envolve potências de matrizes e cálculo de determinantes.
Passo 2
Para (a), seja
Então
o que gera o sistema
Passo 3
Para escapar da solução trivial
, notamos que se
então
e daí
, ou seja volta a ser trivial. Logo precisamos de
e as duas equações não triviais se reduzem a
Passo 4
Bast a escolher dois parâmetros livres. Seja
qualquer e defina
. Para
pegamos
. Então
Assim a forma geral de qualquer
nilpotente de índice 2 é
com
(ou
).
Passo 5
Para (b), um exemplo simples é escolher
Aí
,
, mas
Resposta
(a)
, com
(ou
).
(b) Exemplo:
(b) Exemplo: