3.2.6 (a) A equação matricial A^{2}=0 não implica A=0. Mostre que a matriz mais geral 2 \times 2 cujo quadrado é zero pode ser escrita como
\left(\begin{array}{cc} a b & b^{2} \\\\ -a^{2} & -a b \end{array}\right)
em que a e b são números reais ou complexos.
(b) Se \mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}, em geral
\operatorname{det} C \neq \operatorname{det} A+\operatorname{det} B .
Construa um exemplo numérico específico para ilustrar essa desigualdade.

Passo 1

Beleza, resumindo o enunciado: na parte (a) queremos caracterizar todas as matrizes 2\times2 que satisfazem
A^2 = 0,
mostrando que toda solução pode ser escrita como
\begin{pmatrix}ab & b^2\\\ -a^2 & -ab\end{pmatrix}.
Na parte (b) precisamos dar um exemplo numérico de matrizes A e B tais que, ao definir C=A+B, fique
\det C\neq\det A+\det B. O conteúdo envolve potências de matrizes e cálculo de determinantes.

Passo 2

Para (a), seja
A = \begin{pmatrix}p & q\r & s\end{pmatrix}.
Então
A^2 = \begin{pmatrix}p^2+qr & p\,q+q\,s\r\,p+s\,r & r\,q+s^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
o que gera o sistema
\begin{cases} p^2 + qr = 0,\\\ q(p + s) = 0,\\\ r(p + s) = 0,\\\ rq + s^2 = 0. \end{cases}

Passo 3

Para escapar da solução trivial p=q=r=s=0, notamos que se p+s\neq0 então q=r=0 e daí p^2=s^2=0, ou seja volta a ser trivial. Logo precisamos de
p + s = 0,\quad s=-p,
e as duas equações não triviais se reduzem a
qr = -p^2.

Passo 4

Bast a escolher dois parâmetros livres. Seja b qualquer e defina q=b^2. Para p pegamos p=ab. Então
r = -\frac{p^2}{q} = -\frac{(ab)^2}{b^2} = -a^2, \quad s = -p = -ab.
Assim a forma geral de qualquer 2\times2 nilpotente de índice 2 é
A = \begin{pmatrix}ab & b^2\\\ -a^2 & -ab\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}).

Passo 5

Para (b), um exemplo simples é escolher
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

\det A = 0, \det B = 0, mas
C = A + B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \det C = 1 \neq 0 + 0.

Resposta

(a) \displaystyle A=\begin{pmatrix}ab & b^2\\\ -a^2 & -ab\end{pmatrix}, com a,b\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}).
(b) Exemplo:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\\ B=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\\ \det(A+B)=1\neq\det A+\det B=0.

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