3.2.11 Seja
\mathrm{i}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{j}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
e
\mathrm{k}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right)
Mostre que
(a) \mathrm{i}^{2}=\mathrm{j}^{2}=\mathrm{k}^{2}=-1, em que 1 é a matriz unitária.
(b) \mathrm{ij}=-\mathrm{ji}=\mathrm{k},
\begin{aligned} & \mathrm{jk}=-\mathrm{kj}=\mathrm{i}, \\\ & \mathrm{ki}=-\mathrm{ik}=\mathrm{j} . \end{aligned}
Essas três matrizes ( \mathrm{i}, \mathrm{j} e k) mais a matriz unitária 1 formam uma base para quatérnions. Uma base alternativa é dada pelas quatro matrizes 2 \times 2 i \sigma_{1}, i \sigma_{2},-i \sigma_{3}, 1, em que os sigma são as matrizes de spin de Pauli do Exercício 3.2.13.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 4\times4 chamadas \mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k} e pede que mostremos que elas satisfazem as mesmas relações dos quatérnions, isto é
(a) \mathrm{i}^2=\mathrm{j}^2=\mathrm{k}^2=-1, onde 1 é a matriz identidade 4\times4.
(b)
\mathrm{i}\,\mathrm{j}=-\,\mathrm{j}\,\mathrm{i}=\mathrm{k},\quad \mathrm{j}\,\mathrm{k}=-\,\mathrm{k}\,\mathrm{j}=\mathrm{i},\quad \mathrm{k}\,\mathrm{i}=-\,\mathrm{i}\,\mathrm{k}=\mathrm{j}.
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e observar que cada matriz representa rotações de 90^\circ em planos coordenados distintos.

Passo 2

Calcular \mathrm{i}^2. Note que
\mathrm{i}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
é bloco diagonal com duas cópias de
J=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix},
cujo quadrado é -I_2. Logo
\mathrm{i}^2= \begin{pmatrix}J^2&0\\\ 0&J^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-I_2&0\\\ 0&-I_2\end{pmatrix} =-\,I_4,
isto é \mathrm{i}^2=-1.

Passo 3

De modo inteiramente análogo, \mathrm{j} e \mathrm{k} também representam rotações de 90^\circ em dois planos ortogonais, e verificamos da mesma forma que
\mathrm{j}^2=-\,I_4,\quad \mathrm{k}^2=-\,I_4,
ou seja \mathrm{j}^2=\mathrm{k}^2=-1.

Passo 4

Agora calculamos \mathrm{i}\,\mathrm{j} explicitamente. Tomando linhas de \mathrm{i} e colunas de \mathrm{j} obtemos
\mathrm{i}\,\mathrm{j} =\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\\ -1&0&0&0\\\ 0&0&0&1\\\ 0&0&-1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&0&0&-1\\\ 0&0&-1&0\\\ 0&1&0&0\\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&-1&0\\\ 0&0&0&1\\\ 1&0&0&0\\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix} =\mathrm{k}.

Passo 5

De mesma forma, trocando a ordem:
\mathrm{j}\,\mathrm{i} = \begin{pmatrix} 0&0&0&-1\\\ 0&0&-1&0\\\ 0&1&0&0\\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\\ -1&0&0&0\\\ 0&0&0&1\\\ 0&0&-1&0 \end{pmatrix} =-\,\mathrm{k}.
Isso mostra \mathrm{i}\,\mathrm{j}=-\,\mathrm{j}\,\mathrm{i}=\mathrm{k}.

Passo 6

Para as outras duas pares de produtos fazemos cálculo análogo ou usamos simetria cíclica das definições. Assim resulta
\mathrm{j}\,\mathrm{k}=-\,\mathrm{k}\,\mathrm{j}=\mathrm{i}, \qquad \mathrm{k}\,\mathrm{i}=-\,\mathrm{i}\,\mathrm{k}=\mathrm{j}.

Resposta

(a) \mathrm{i}^2=\mathrm{j}^2=\mathrm{k}^2=-1.
(b) \mathrm{i}\,\mathrm{j}=-\mathrm{j}\,\mathrm{i}=\mathrm{k},\quad \mathrm{j}\,\mathrm{k}=-\mathrm{k}\,\mathrm{j}=\mathrm{i},\quad \mathrm{k}\,\mathrm{i}=-\mathrm{i}\,\mathrm{k}=\mathrm{j}.

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