Mostre que
(a) i^2=j^2=k^2=-1, em que 1 é a matriz unitária.
(b) ij=-ji=k,
& jk=-kj=i, & ki=-ik=j
Essas três matrizes ( i, j e k) mais a matriz unitária 1 formam uma base para quatérnions. Uma base alternativa é dada pelas quatro matrizes 2 times 2 i sigma1, i sigma2,-i sigma3, 1, em que os sigma são as matrizes de spin de Pauli do Exercício 3.2.13.
Passo 1
O enunciado dá três matrizes 4times4 chamadas i,j,k e pede que mostremos que elas satisfazem as mesmas relações dos quatérnions, isto é
(a) i^2=j^2=k^2=-1, onde 1 é a matriz identidade 4times4.
(b)
i,j=-,j,i=k, j,k=-,k,j=i, k,i=-,i,k=j
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e observar que cada matriz representa rotações de 90^circ em planos coordenados distintos.