Essas três matrizes ( \mathrm{i}, \mathrm{j} e k) mais a matriz unitária 1 formam uma base para quatérnions. Uma base alternativa é dada pelas quatro matrizes 2 \times 2 i \sigma_{1}, i \sigma_{2},-i \sigma_{3}, 1, em que os sigma são as matrizes de spin de Pauli do Exercício 3.2.13.
Passo 1
O enunciado dá três matrizes 4\times4 chamadas \mathrm{i},\mathrm{j},\mathrm{k} e pede que mostremos que elas satisfazem as mesmas relações dos quatérnions, isto é
(a) \mathrm{i}^2=\mathrm{j}^2=\mathrm{k}^2=-1, onde 1 é a matriz identidade 4\times4.
(b)
De modo inteiramente análogo, \mathrm{j} e \mathrm{k} também representam rotações de 90^\circ em dois planos ortogonais, e verificamos da mesma forma que
\mathrm{j}^2=-\,I_4,\quad \mathrm{k}^2=-\,I_4,
ou seja \mathrm{j}^2=\mathrm{k}^2=-1.
Passo 4
Agora calculamos \mathrm{i}\,\mathrm{j} explicitamente. Tomando linhas de \mathrm{i} e colunas de \mathrm{j} obtemos