3.2.11 Seja
i=(cccc 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 0 ), j=(cccc 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 )
e
k=(cccc 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 )
Mostre que
(a) i^2=j^2=k^2=-1, em que 1 é a matriz unitária.
(b) ij=-ji=k,
& jk=-kj=i, & ki=-ik=j
Essas três matrizes ( i, j e k) mais a matriz unitária 1 formam uma base para quatérnions. Uma base alternativa é dada pelas quatro matrizes 2 times 2 i sigma1, i sigma2,-i sigma3, 1, em que os sigma são as matrizes de spin de Pauli do Exercício 3.2.13.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 4times4 chamadas i,j,k e pede que mostremos que elas satisfazem as mesmas relações dos quatérnions, isto é
(a) i^2=j^2=k^2=-1, onde 1 é a matriz identidade 4times4.
(b)
i,j=-,j,i=k, j,k=-,k,j=i, k,i=-,i,k=j
Para isso vamos usar multiplicação de matrizes e observar que cada matriz representa rotações de 90^circ em planos coordenados distintos.

Passo 2

Calcular i^2. Note que
i= 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 0
é bloco diagonal com duas cópias de
J=0&1-1&0,
cujo quadrado é -I2. Logo
i^2= J^2&00&J^2 = -I2&00&-I2 =-,I4,
isto é i^2=-1.

Passo 3

De modo inteiramente análogo, j e k também representam rotações de 90^circ em dois planos ortogonais, e verificamos da mesma forma que
j^2=-,I4, k^2=-,I4,
ou seja j^2=k^2=-1.

Passo 4

Agora calculamos i,j explicitamente. Tomando linhas de i e colunas de j obtemos
i,j = 0&1&0&0-1&0&0&00&0&0&10&0&-1&0 0&0&0&-10&0&-1&00&1&0&01&0&0&0 = 0&0&-1&00&0&0&11&0&0&00&-1&0&0 =k

Passo 5

De mesma forma, trocando a ordem:
j,i = 0&0&0&-10&0&-1&00&1&0&01&0&0&0 0&1&0&0-1&0&0&00&0&0&10&0&-1&0 =-,k
Isso mostra i,j=-,j,i=k.

Passo 6

Para as outras duas pares de produtos fazemos cálculo análogo ou usamos simetria cíclica das definições. Assim resulta
j,k=-,k,j=i, k,i=-,i,k=j

Resposta

(a) i^2=j^2=k^2=-1.
(b) i,j=-j,i=k, j,k=-k,j=i, k,i=-i,k=j

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