3.2.34 Ache as matrizes
, tais que o produto
será A , porém com:
a
-ésima linha substituída pela i-ésima linha original, menos um múltiplo da
-ésima linha
;
a
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz elementar de linha
tal que, ao multiplicá-la à esquerda em uma matriz arbitrária
de ordem
, ela realize a operação de linha
isto é, substitui a
-ésima linha de
pela diferença entre ela e
vezes a
-ésima linha. O conteúdo usado é a teoria de matrizes elementares e operações de linha.
Passo 2
Sabemos que multiplicar uma matriz
à esquerda por uma matriz elementar
corresponde a aplicar em
uma operação de linha. Para a operação
basta construir
alterando a matriz identidade.
Passo 3
Considere a matriz identidade
. Se subtrairmos
vezes a
-ésima linha da
-ésima, isso equivale a colocar
na posição
de
. Assim definimos
onde
é a matriz com
na entrada
e
nas demais.
Passo 4
Verificação do efeito: ao calcular
, toda linha
permanece igual, pois nas linhas diferentes de
coincide com
. Na linha
temos
que é justamente a operação desejada.
Resposta
A matriz
é dada por
ou seja, seus elementos são