3.2.34 Ache as matrizes ML, tais que o produto ML A será A , porém com:
a i-ésima linha substituída pela i-ésima linha original, menos um múltiplo da m-ésima linha (ai j ai j-K am j, i=1,2,3, ldots);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz elementar de linha ML tal que, ao multiplicá-la à esquerda em uma matriz arbitrária A de ordem n, ela realize a operação de linha
ai j;longrightarrow;ai j-K,am j,
isto é, substitui a i-ésima linha de A pela diferença entre ela e K vezes a m-ésima linha. O conteúdo usado é a teoria de matrizes elementares e operações de linha.

Passo 2

Sabemos que multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz elementar E corresponde a aplicar em A uma operação de linha. Para a operação
Linhai ;longrightarrow;Linhai - K,Linham
basta construir E alterando a matriz identidade.

Passo 3

Considere a matriz identidade In. Se subtrairmos K vezes a m-ésima linha da i-ésima, isso equivale a colocar -K na posição (i,m) de In. Assim definimos
ML = In - K,Ei m
onde Ei m é a matriz com 1 na entrada (i,m) e 0 nas demais.

Passo 4

Verificação do efeito: ao calcular MLA, toda linha rneq i permanece igual, pois nas linhas diferentes de i ML coincide com In. Na linha i temos
(MLA)i j =sums=1^n(ML)i s,as j =(1),ai j+(-K),am j =ai j-K,am j,
que é justamente a operação desejada.

Resposta

A matriz ML é dada por
ML = In -K,Ei m,
ou seja, seus elementos são
(ML)r s = 1, & r=s, -,K, & r=i,;s=m, 0, & caso contrário á

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