3.2.34 Ache as matrizes \mathrm{M}_{L}, tais que o produto \mathrm{M}_{L} \mathrm{~A} será A , porém com:
a i-ésima linha substituída pela i-ésima linha original, menos um múltiplo da m-ésima linha \left(a_{i j} \rightarrow a_{i j}-K a_{m j}, i=1,2,3, \ldots\right);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz elementar de linha \mathrm{M}_{L} tal que, ao multiplicá-la à esquerda em uma matriz arbitrária A de ordem n, ela realize a operação de linha
a_{i j}\;\longrightarrow\;a_{i j}-K\,a_{m j},
isto é, substitui a i-ésima linha de A pela diferença entre ela e K vezes a m-ésima linha. O conteúdo usado é a teoria de matrizes elementares e operações de linha.

Passo 2

Sabemos que multiplicar uma matriz A à esquerda por uma matriz elementar E corresponde a aplicar em A uma operação de linha. Para a operação
\text{Linha}_i \;\longrightarrow\;\text{Linha}_i - K\,\text{Linha}_m
basta construir E alterando a matriz identidade.

Passo 3

Considere a matriz identidade \mathrm{I}_n. Se subtrairmos K vezes a m-ésima linha da i-ésima, isso equivale a colocar -K na posição (i,m) de \mathrm{I}_n. Assim definimos
\mathrm{M}_{L} = \mathrm{I}_n - K\,E_{i m}
onde E_{i m} é a matriz com 1 na entrada (i,m) e 0 nas demais.

Passo 4

Verificação do efeito: ao calcular \mathrm{M}_{L}A, toda linha r\neq i permanece igual, pois nas linhas diferentes de i \mathrm{M}_{L} coincide com \mathrm{I}_n. Na linha i temos
(\mathrm{M}_{L}A)_{i j} =\sum_{s=1}^{n}(\mathrm{M}_{L})_{i s}\,a_{s j} =(1)\,a_{i j}+(-K)\,a_{m j} =a_{i j}-K\,a_{m j},
que é justamente a operação desejada.

Resposta

A matriz \mathrm{M}_{L} é dada por
\mathrm{M}_{L} = \mathrm{I}_n -K\,E_{i m},
ou seja, seus elementos são
(\mathrm{M}_{L})_{r s} = \begin{cases} 1, & r=s,\\\\ -\,K, & r=i,\;s=m,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Exercícios de Livros Relacionados