Ache o menor número decimal positivo que, dividido pelas frações 1675 e 415, fornece quocientes inteiros.

Passo 1

O enunciado pede o menor número decimal positivo x tal que ao dividirmos x por tfrac1675 e por tfrac415 obtenhamos quocientes inteiros. Isso envolve (i) achar o mínimo múltiplo comum de duas frações e (ii) garantir que a representação decimal de x seja finita (denominador só com fatores 2 e 5).

Passo 2

Condição de divisibilidade por tfrac1675:
x16/75inZ Long<=ftrightarrow x = 1675,a, ainZ
Condição de divisibilidade por tfrac415:
x4/15inZ Long<=ftrightarrow x = 415,b, binZ
Logo x é múltiplo comum de tfrac1675 e tfrac415.

Passo 3

Para frações tfracn1d1 e tfracn2d2, vale
lcml(tfracn1d1,tfracn2d2r) =lcm(n1,n2)gcd(d1,d2)
Aqui n1=16, d1=75, n2=4, d2=15. Logo
lcm(16,4)=16,gcd(75,15)=15 Longrightarrow lcml(tfrac1675,tfrac415r)=1615

Passo 4

Porém tfrac1615=1,06 tem expansão decimal infinita. Para obter um decimal finito, buscamos o menor inteiro k>0 tal que
x = kcdot1615 = 16k15
tenha denominador, após simplificar, formado só por 2 e 5. Como 15=3cdot5, é preciso que k seja múltiplo de 3 para eliminar o fator 3. O menor k possível é 3.

Passo 5

Com k=3 vem
x = 16cdot315 = 4815 = 165 = 3,2
Verificação:
3,216/75 =3,2cdot7516=15, 3,24/15 =3,2cdot154=12,
que são inteiros.

Resposta

O menor número decimal positivo que satisfaz as condições é 3,2.

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