Ache o menor número decimal positivo que, dividido pelas frações
e
, fornece quocientes inteiros.
Passo 1
O enunciado pede o menor número decimal positivo
tal que ao dividirmos
por
e por
obtenhamos quocientes inteiros. Isso envolve (i) achar o mínimo múltiplo comum de duas frações e (ii) garantir que a representação decimal de
seja finita (denominador só com fatores 2 e 5).
Passo 2
Condição de divisibilidade por
:
Condição de divisibilidade por
:
Logo
é múltiplo comum de
e
.
Passo 3
Para frações
e
, vale
Aqui
. Logo
Passo 4
Porém
tem expansão decimal infinita. Para obter um decimal finito, buscamos o menor inteiro
tal que
tenha denominador, após simplificar, formado só por
e
. Como
, é preciso que
seja múltiplo de
para eliminar o fator
. O menor
possível é
.
Passo 5
Com
vem
Verificação:
que são inteiros.
Resposta
O menor número decimal positivo que satisfaz as condições é
.