Justifique as seguintes regras:
Se s<r, então 10^r cdot(m, a1 a2 ldots a3)=m a1 a2 ldots a3 0 ldots 0, onde o número de zeros ér r s.

Passo 1

O enunciado afirma que, se s<r, então
10^rcdot(m,a1a2ldots as) ;=; m,a1a2ldots as0ldots0,
com exatamente r-s zeros no final. Vamos justificar isso usando a representação positional decimal: multiplicar por 10^r desloca a vírgula r casas para a direita.

Passo 2

Escrevemos o número decimal com s dígitos depois da vírgula como
x = (m,a1a2ldots as) = m ;+;sumk=1^sak,10^-k

Passo 3

Multiplicando por 10^r obtemos
10^rx = m,10^r ;+;sumk=1^sak,10^,r-k
Como r-k>= r-s>=1, cada termo ak10^r-k é inteiro. Logo 10^rx é um número inteiro
N = m,10^r + a110^,r-1 + a210^,r-2 + cdots + as10^,r-s

Passo 4

Em base decimal, escrever
N = m,10^r + a110^r-1 + cdots + as10^r-s
corresponde a concatenar os dígitos m,a1,a2,dots,as e, em seguida, preencher as r-s casas restantes com zeros. Portanto
10^rcdot(m,a1a2ldots as) = m,a1a2ldots as underbrace0ldots0r-s

Resposta

A multiplicação por 10^r desloca a vírgula r casas para a direita na representação decimal, o que equivale a concatenar os dígitos originais e acrescentar r-s zeros ao final.

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