Ache
de maneira que
e a soma
seja a maior possível. E para que
seja a menor possível, como devem ser
?
Passo 1
O enunciado pede achar
tais que
e, dentre essas soluções, determinar quando a soma
é a maior possível e quando é a menor possível. Vamos tratar isso como uma equação diofantina linear.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados de
por
, obtemos a equação inteira
Passo 3
Da relação
segue
Para
ser inteiro, precisamos de
Como o inverso de
módulo
é
, multiplicamos e achamos
portanto
,
. Substituindo em
dá
Passo 4
Para
basta
. Assim todas as soluções são
Passo 5
A soma dessas soluções é
que é estritamente crescente em
. Logo:
- Não existe valor máximo de
, pois à medida que a soma cresce sem limite. - O valor mínimo ocorre em
, quando
Resposta
Para a soma
ser a maior possível não há valor máximo (a soma cresce indefinidamente).
Para a soma ser a menor possível devemos escolher
Para a soma