Ache x, y in N^* de maneira que x2-y5=0,3 e a soma x+y seja a maior possível. E para que x+y seja a menor possível, como devem ser x, y in N^* ?

Passo 1

O enunciado pede achar x,yinN^* tais que
x2-y5=0,3
e, dentre essas soluções, determinar quando a soma x+y é a maior possível e quando é a menor possível. Vamos tratar isso como uma equação diofantina linear.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados de
x2-y5=0,3
por 10, obtemos a equação inteira
5x - 2y = 3

Passo 3

Da relação 5x=2y+3 segue
x = 2y+35
Para x ser inteiro, precisamos de
2y+3 equiv 0 pmod5 ;Longrightarrow; 2y equiv 2 pmod5
Como o inverso de 2 módulo 5 é 3, multiplicamos e achamos
y equiv 1 pmod5,
portanto y=5k+1, kinN0. Substituindo em x
x = 2(5k+1)+35 = 2k+1

Passo 4

Para x,yinN^* basta k>=0. Assim todas as soluções são
(x,y) = (2k+1,;5k+1), k=0,1,2,dots

Passo 5

A soma dessas soluções é
S(k) = x+y = (2k+1)+(5k+1) = 7k+2,
que é estritamente crescente em k. Logo:
  • Não existe valor máximo de S(k), pois à medida que ktoinfty a soma cresce sem limite.
  • O valor mínimo ocorre em k=0, quando (x,y) = (1,1) e Smin=2

Resposta

Para a soma x+y ser a maior possível não há valor máximo (a soma cresce indefinidamente).
Para a soma x+y ser a menor possível devemos escolher
x=1, y=1

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