Ache 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos.

Passo 1

O enunciado pede cinco números reais em progressão aritmética (P.A.) cuja soma vale 10 e tal que a soma dos cubos dos dois primeiros termos seja igual à soma dos cubos dos dois últimos termos. Vamos usar a fórmula dos termos de uma P.A. e condições de soma de termos e soma de potências.

Passo 2

Sejam os cinco termos da P.A.
a1 = a-2d, a2 = a-d, a3 = a, a4 = a+d, a5 = a+2d,
onde a é o termo central e d a razão.

Passo 3

Usamos a condição da soma dos cinco termos:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5a = 10
Logo,
a = 105 = 2

Passo 4

A condição sobre os cubos dos termos é
(a1)^3 + (a2)^3 = (a4)^3 + (a5)^3
Substituindo a=2 e expandindo, obtemos
(2-2d)^3 + (2-d)^3 = (2+d)^3 + (2+2d)^3
que se simplifica a
18,dl(d^2 + 4r) = 0

Passo 5

A única solução real dessa equação é
d = 0
Assim, a P.A. é constante com a=2 e d=0.

Resposta

Os cinco números são
2, 2, 2, 2, 2.

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