Ache 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos.
Passo 1
O enunciado pede cinco números reais em progressão aritmética (P.A.) cuja soma vale 10 e tal que a soma dos cubos dos dois primeiros termos seja igual à soma dos cubos dos dois últimos termos. Vamos usar a fórmula dos termos de uma P.A. e condições de soma de termos e soma de potências.
Passo 2
Sejam os cinco termos da P.A.
onde
é o termo central e
a razão.
Passo 3
Usamos a condição da soma dos cinco termos:
Logo,
Passo 4
A condição sobre os cubos dos termos é
Substituindo
e expandindo, obtemos
que se simplifica a
Passo 5
A única solução real dessa equação é
Assim, a P.A. é constante com
e
.
Resposta
Os cinco números são
.