Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 2330.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar três números em progressão aritmética (P.A.) cuja soma é 18 e cuja soma dos inversos é tfrac2330. Para isso, usamos a forma geral de uma P.A. de três termos como (a-d),,a,,(a+d), onde a é o termo do meio e d a razão.

Passo 2

Da condição da soma (a-d)+a+(a+d)=18 segue
3a = 18,
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a = 6

Passo 3

Os termos passam a ser 6-d,;6,;6+d. A soma dos inversos é
16-d+16+16+d = 2330
Observando que
16-d+16+d = (6+d)+(6-d)(6-d)(6+d) = 1236 - d^2,
podemos reescrever a soma total como
1236 - d^2 + 16 = 2330

Passo 4

Colocando sobre o mesmo denominador e resolvendo em d:
12cdot 6 + (36 - d^2)6,(36 - d^2) = 2330 ;Longrightarrow; 30,(108 - d^2) = 138,(36 - d^2) ;Longrightarrow; 108,d^2 = 1728 ;Longrightarrow; d^2 = 16 ;Longrightarrow; d = pm 4

Passo 5

Para d=4 os termos são (6-4,,6,,6+4)=(2,6,10).
Para d=-4 a ordem inverte: (10,6,2). Ambas são P.A. válidas.

Resposta

Os três números em P.A. são 2,;6,;10 (ou, invertendo, 10,;6,;2).

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