Obtenha uma P.A. em que a soma dos n primeiros termos é n^2+2 n para todo n natural.

Solução

Como Sn=n^2+2 n, n in N^*, temos:
S1=1^2+2 cdot 1=3 Rightarrow a1=3
S2=2^2+2 cdot 2=8 Rightarrow a1+a2=8 Rightarrow a2=5
e a P.A. é (3, 5, 7, 9, …).

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) cujos somatórios dos n primeiros termos sejam
Sn=n^2+2n, ninN^*
Para isso, vamos usar a ideia de que, em qualquer sequência, o n-ésimo termo satisfaz
an=Sn-Sn-1,
com S0=0.

Passo 2

Calculemos o primeiro termo a1. Basta usar n=1 em Sn:
S1=1^2+2cdot1=3
e como S1=a1, segue que
a1=3

Passo 3

Agora obtenhamos a fórmula geral de an por diferença de somatórios:
an=Sn-Sn-1=(n^2+2n)-l((n-1)^2+2(n-1)r)
Expandindo (n-1)^2+2(n-1)=n^2-2n+1+2n-2=n^2-1, vem
an=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1

Passo 4

Verificamos que a sequência an=2n+1 é uma P.A., pois a diferença entre termos consecutivos é
an-an-1=(2n+1)-(2(n-1)+1)=2
Logo, a P.A. tem primeiro termo a1=3 e razão d=2.

Resposta

A P.A. é dada por
an=2n+1,
isto é, a sequência (3,5,7,9,dots).

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