Ache a região do plano de pontos P, cujas coordenadas ( x, y ) satisfazem as relações x+y <= 3 e x^2+y^2 <= 81. Faça o gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado pede a regi~ao do plano definida pelas duas desigualdades
x+y <= 3
e
x^2+y^2 <= 81
O conte’udo 'e geometria anal’itica: a primeira 'e um meio-plano limitado pela reta x+y=3 e a segunda um disco de raio 9 centrado na origem. Vamos determinar sua interse’ao e, ao final, representar graficamente.

Passo 2

Analisando x+y<=3: a reta
x+y=3
intercepta os eixos em (3,0) e (0,3). O meio-plano x+y<=3 'e o conjunto de pontos “abaixo” (no sentido de soma menor) dessa reta.

Passo 3

Analisando x^2+y^2<=81: esse é o disco de raio 9 centrado em (0,0). A fronteira é a circunferência
x^2+y^2=81

Passo 4

A regi~ao solu\c{c}~ao 'e a intersec’ao do disco com o meio-plano. Para entender melhor a fronteira, achamos os pontos em que a reta cruza a circunfer^encia, resolvendo o sistema
x+y=3, x^2+y^2=81

Passo 5

Substituindo y=3-x em x^2+y^2=81 obtemos
x^2+(3-x)^2=81 Longrightarrow 2x^2-6x-72=0 Longrightarrow x^2-3x-36=0
As raízes são
x=3pmraiz9+1442 =3pmraiz1532,
e, então, os pontos de interseção são
P1=l(tfrac3+raiz1532,,tfrac3-raiz1532r), P2=l(tfrac3-raiz1532,,tfrac3+raiz1532r)

Passo 6

Conclu’imos que a regi~ao pedida 'e o “fat-slice” do disco de raio 9 que fica no lado de x+y<=3. No gr’afico, desenhe a circunfer^encia de raio 9 e a reta x+y=3, e sombree a parte do disco que est’a abaixo dessa reta, limitada pelo arco entre P1 e P2 e pelo segmento de reta que os une.

Resposta

A regi~ao 'e
(x,y)inR^2 mid x^2+y^2<=81,;x+y<=3,
isto 'e, o disco de raio 9 truncado pelo meio-plano x+y<=3. Graficamente, 'e a por\c{c}~ao do c’irculo de raio 9 que fica do lado “abaixo” da reta x+y=3, limitada pelo arco entre
l(tfrac3pmraiz1532,tfrac3mpraiz1532r).

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