Qual é a posição do ponto 𝐴(1, √2) em relação à circunferência 𝑥2+𝑦2−4𝑥−4𝑦+4=0 ?

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição do ponto A(1,raiz2) em relação à circunferência de equação
x^2 + y^2 -4x -4y +4 = 0
O conteúdo envolvido é determinação do centro e raio de uma circunferência a partir da forma geral e comparação da distância ponto–centro com o raio.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x e em y:
x^2 -4x = (x-2)^2 -4,
y^2 -4y = (y-2)^2 -4
Substituindo em
x^2 + y^2 -4x -4y +4 = 0
obtém-se
(x-2)^2 -4 + (y-2)^2 -4 +4 = 0
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4
Logo o centro é C(2,2) e o raio é r=2.

Passo 3

Para saber onde A está, calculamos a distância d de A a C e comparamos com r. Primeiro,
d^2 = (1-2)^2 + (raiz2-2)^2 = 1 + (raiz2-2)^2
Expandindo
(raiz2-2)^2 = 2 -4raiz2 +4 = 6 -4raiz2,
segue que
d^2 = 7 -4raiz2

Passo 4

Como
4raiz2approx5,657Longrightarrow7 -4raiz2approx1,343 < 4,
temos d^2<r^2, ou seja d<r. Isso significa que A está no interior da circunferência.

Resposta

O ponto A(1,raiz2) está no interior da circunferência.

Exercícios de Livros Relacionados