Se A x^2+A y^2+B x+C y+D=0(A neq 0) é a equação de uma circunferência, determine o centro e o raio.

Passo 1

O enunciado dá a equação
A x^2+A y^2+B x+C y+D=0, Aneq 0,
que representa uma circunferência. Vamos usar a técnica de normalizar por A e completar quadrados para obter a forma padrão
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2,
e daí extrair o centro (x0,y0) e o raio r.

Passo 2

Dividimos toda a equação por A para deixar os quadrados com coeficiente 1:
x^2 + y^2 + BA,x + CA,y + DA = 0
Passamos o termo constante para o lado direito:
x^2 + BA,x + y^2 + CA,y = -DA

Passo 3

Agora completamos quadrados em x e y. Note que
x^2 + BA,x = l(x + B2Ar)^2 - B^24A^2,
y^2 + CA,y = l(y + C2Ar)^2 - C^24A^2
Substituindo na equação obtemos
l(x + tfracB2Ar)^2 - tfracB^24A^2 +l(y + tfracC2Ar)^2 - tfracC^24A^2 = -tfracDA
Reagrupando os termos livres no lado direito:
l(x + tfracB2Ar)^2 + l(y + tfracC2Ar)^2 = -tfracDA + tfracB^2 + C^24A^2 = B^2 + C^2 - 4A D4A^2

Passo 4

Comparando com a forma
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2,
vemos que
x0 = -B2A, y0 = -C2A,
e
r^2 = B^2 + C^2 - 4A D4A^2,
portanto
r = raiz,B^2 + C^2 - 4A D,2|A|

Resposta

Centro: l(-B2A,-C2Ar)
Raio: raizB^2 + C^2 - 4A D2|A|

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