Sejam a e b raízes primitivas de um primo impar p. Prove que ab não é raiz primitiva de p.
Resoluçāo: Como a é raiz primitiva de p , entāo varphi(p)=p-1 é o menor expoente estritamente positivo para o qual a^p-1-1 equiv 0(bmod p). Dai(a^p-12-1) cdot(a^p-12+1) equiv 0(bmod p) e portanto a^p-12 equiv-1 (bmod p), posto que a ordem de a é p - 1. Analogamente, b^p-12 equiv-1 (bmod p). Donde (ab)^p-12 cong 1(bmod p) e a ordem de ab, módulo p , é menor que varphi(p).

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja p um primo ímpar e sejam a e b raízes primitivas módulo p. Isto significa que
ordp(a)=ordp(b)=p-1,
ou seja, p-1 é o menor expoente positivo tal que a^p-1equiv1pmod p e b^p-1equiv1pmod p. Vamos usar essas ordens para mostrar que a ordem de ab é estritamente menor que p-1.

Passo 2

Como ordp(a)=p-1, temos
a^p-1equiv1pmod p
Fatorando o lado esquerdo,
a^p-1-1 =l(a^p-12-1r)l(a^p-12+1r)equiv0pmod p
Se a^p-12equiv1pmod p, isso contradiz o fato de p-1 ser o menor expoente que dá 1. Logo
a^p-12equiv-1pmod p
De modo análogo, como ordp(b)=p-1 obtemos
b^p-12equiv-1pmod p

Passo 3

Agora calculemos
(ab)^p-12 =a^p-12;b^p-12 equiv(-1)cdot(-1)equiv1pmod p
Portanto, (ab)^p-12equiv1pmod p.

Passo 4

A congruência (ab)^p-12equiv1pmod p mostra que a ordem de ab divide tfracp-12. Assim
ordp(ab)<=p-12<p-1,
logo ab não pode ter ordem p-1 e não é raiz primitiva de p.

Resposta

ab não é raiz primitiva de p.

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