Sejam a e b raízes primitivas de um primo impar p. Prove que ab não é raiz primitiva de
.
Resoluçāo: Como a é raiz primitiva de p , entāo
é o menor expoente estritamente positivo para o qual
.
e portanto
, posto que a ordem de a é p - 1. Analogamente,
. Donde
e a ordem de ab, módulo p , é menor que
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja
um primo ímpar e sejam
e
raízes primitivas módulo
. Isto significa que
ou seja,
é o menor expoente positivo tal que
e
. Vamos usar essas ordens para mostrar que a ordem de
é estritamente menor que
.
Passo 2
Como
, temos
Fatorando o lado esquerdo,
Se
, isso contradiz o fato de
ser o menor expoente que dá
. Logo
De modo análogo, como
obtemos
Passo 3
Agora calculemos
Portanto,
.
Passo 4
A congruência
mostra que a ordem de
divide
. Assim
logo
não pode ter ordem
e não é raiz primitiva de
.