Ache os seguintes números com precisão até a terceira casa decimal:
integral0^1 sen tt d t

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, com três casas decimais, o valor da integral
integral0^1sen tt,dt
Essa integral é justamente a função Seno Integral avaliada em 1, denotada por Si(1). Vamos usar sua série de Taylor para calcular numericamente.

Passo 2

A série de Taylor da função Si(x) em torno de x=0 é
Si(x) =sumk=0^infty(-1)^k,x^2k+1(2k+1),(2k+1)!
Para x=1 fica
Si(1) =sumk=0^infty(-1)^k,1^2k+1(2k+1),(2k+1)! =sumk=0^infty(-1)^k,1(2k+1),(2k+1)!

Passo 3

Vamos somar os primeiros termos até o erro ser pequeno comparado a 10^-4:
k =0: 11cdot1!=1.
k =1: -13cdot3!=-118approx -0,0555556.
Somando: 1-0,0555556=0,9444444.
k =2: +15cdot5!=1600approx0,0016667.
Somando: 0,9444444+0,0016667=0,9461111.
k =3: -17cdot7!=-135280approx-0,0000283.
Somando: 0,9461111-0,0000283=0,9460828.
k =4: +19cdot9!approx+0,0000003.
Somando: 0,9460831.

Passo 4

Os termos seguintes têm magnitude menor que 3times10^-7, então já garantimos erro bem abaixo de 5times10^-4. Assim,
integral0^1sen tt,dt =Si(1)approx0,9460831

Passo 5

Arredondando para três casas decimais, obtemos
integral0^1sen tt,dtapprox0,946

Resposta

0,946

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