Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
Cos^-1 x em x=0

Passo 1

O enunciado pede para obter a Série de Taylor (Maclaurin) de arccos x em x=0. O conteúdo envolvido é desenvolvimento em série de potências, e vamos usar a relação entre arccos x e arcsin x.

Passo 2

Usamos a identidade
arccos x = pi2 - arcsin x,
válida em -1<x<1. Assim, basta conhecer a série de arcsin x.

Passo 3

É sabido que a expansão de Maclaurin de arcsin x é
arcsin x = sumn=0^infty (2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1),x^2n+1

Passo 4

Subtraindo essa série de tfracpi2, obtemos
arccos x = pi2 - sumn=0^infty (2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1),x^2n+1

Resposta

arccos x = pi2 ;-; x ;-;16x^3;-;340x^5;-;5112x^7;-;cdots
ou, em forma geral,
arccos x = pi2 - sumn=0^infty (2n)!4^n,(n!)^2,(2n+1),x^2n+1

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