Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
ln (sec x)

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
ln(sec x), isto é, expandir em potências de x em torno de 0. Vamos precisar de:
  1. A série de Maclaurin de cos x.
  2. A série de Maclaurin de sec x=1/cos x, obtida invertendo a de cos x.
  3. A série de Taylor de ln(1+u) para u pequeno.

Passo 2

Começamos com
cos x = 1 - tfracx^22 + tfracx^424 - tfracx^6720 + O(x^8)
Invertendo essa série para obter sec x=1/cos x, achamos
sec x = 1 + tfrac12,x^2 + tfrac524,x^4 + tfrac61720,x^6 + O(x^8)

Passo 3

Defina
u = sec x - 1 = tfrac12,x^2 + tfrac524,x^4 + tfrac61720,x^6 + O(x^8)
Usamos a expansão
ln(1+u) = u - tfracu^22 + tfracu^33 + O(u^4)
Para computar até x^6, precisamos de
u^2 = tfrac14,x^4 + tfrac524,x^6 + O(x^8), u^3 = tfrac18,x^6 + O(x^8)

Passo 4

Substituindo na série de ln(1+u) e agrupando em potências de x, obtemos
ln(sec x) = l(tfrac12,x^2 + tfrac524,x^4 + tfrac61720,x^6r) - tfrac12l(tfrac14,x^4 + tfrac524,x^6r) + tfrac13l(tfrac18,x^6r) + O(x^8)
Logo, os coeficientes são
x^2:;tfrac12, x^4:;tfrac524-tfrac18 = tfrac112, x^6:;tfrac61720-tfrac548+tfrac124 = tfrac145

Passo 5

Para o intervalo de convergência, note que sec x tem singularidade mais próxima em x=pmpi/2, então a série só converge para
|x|<tfracpi2
Dentro desse intervalo ln(sec x) é analítica, logo a soma da expansão coincide com a própria ln(sec x).

Resposta

ln(sec x) = tfrac12,x^2 + tfrac112,x^4 + tfrac145,x^6 + O(x^8), |x|<tfracpi2,
e a série converge para ln(sec x) nesse intervalo.

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