Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
, isto é, expandir em potências de
em torno de
. Vamos precisar de:
- A série de Maclaurin de
. - A série de Maclaurin de
, obtida invertendo a de . - A série de Taylor de
para pequeno.
Passo 2
Começamos com
Invertendo essa série para obter
, achamos
Passo 3
Defina
Usamos a expansão
Para computar até
, precisamos de
Passo 4
Substituindo na série de
e agrupando em potências de
, obtemos
Logo, os coeficientes são
Passo 5
Para o intervalo de convergência, note que
tem singularidade mais próxima em
, então a série só converge para
Dentro desse intervalo
é analítica, logo a soma da expansão coincide com a própria
.
Resposta
e a série converge para
nesse intervalo.