Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
e, por ser indicada com asterisco, também requer o intervalo de convergência e verificar se a soma da série é de fato
. Vamos usar a expansão em série de Taylor de
centrada em
e integrar termo a termo.
Passo 2
Recordando que
multiplicamos por
e integramos de
a
:
Como
ficamos com
Passo 3
Agora extraímos os três primeiros termos não nulos, correspondentes a
:
Logo, os três primeiros termos são
Passo 4
A série de
tem raio de convergência infinito e integrar termo a termo não altera esse raio. Portanto a expansão de
converge para todo
. Como a série original de
converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo compacto, a soma da série integral é exatamente a função dada, ou seja,
Resposta
Três primeiros termos não nulos:
Intervalo de convergência:
.
A soma da série coincide com .
A soma da série coincide com