Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
integral0^x t^2 cos t d t

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
F(x)=integral0^xt^2cos t,dt
e, por ser indicada com asterisco, também requer o intervalo de convergência e verificar se a soma da série é de fato F(x). Vamos usar a expansão em série de Taylor de cos t centrada em 0 e integrar termo a termo.

Passo 2

Recordando que
cos t = sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!,
multiplicamos por t^2 e integramos de 0 a x:
t^2cos t = sumn=0^infty(-1)^nt^2n+2(2n)! Longrightarrow F(x)=integral0^xt^2cos t,dt =sumn=0^infty(-1)^n1(2n)!integral0^xt^2n+2dt
Como
integral0^xt^2n+2dt=x^2n+32n+3,
ficamos com
F(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+3(2n)!,(2n+3)

Passo 3

Agora extraímos os três primeiros termos não nulos, correspondentes a n=0,1,2:
n=0&: x^30!,3=x^33, n=1&: -x^52!,5=-x^510, n=2&: x^74!,7=x^7168
Logo, os três primeiros termos são
x^33-x^510+x^7168

Passo 4

A série de cos t tem raio de convergência infinito e integrar termo a termo não altera esse raio. Portanto a expansão de F(x) converge para todo xin(-infty,infty). Como a série original de cos t converge absolutamente e uniformemente em qualquer intervalo compacto, a soma da série integral é exatamente a função dada, ou seja,
sumn=0^infty(-1)^nx^2n+3(2n)!,(2n+3) =integral0^xt^2cos t,dt

Resposta

Três primeiros termos não nulos:
x^33-x^510+x^7168
Intervalo de convergência: (-infty,infty).
A soma da série coincide com integral0^xt^2cos t,dt.

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