Ache os seguintes números com precisão até a terceira casa decimal:
integral0^110 e^t sen t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor da integral
integral0^110 e^t,sinl(t^3r),dt
com precisão até a terceira casa decimal.
O conteúdo principal aqui é usar a série de Taylor de e^t e de sin(t^3) em torno de t=0, multiplicar as séries, truncar num grau em que o erro seja desprezível no intervalo [0,0,1/10] e então integrar termo a termo.

Passo 2

Escrevemos as séries:
sin(t^3) = t^3 - (t^3)^36 + cdots = t^3 - t^96 + cdots
e^t = 1 + t + t^22 + t^36 + t^424 + t^5120 + cdots
Para obter a parte relevante até ordem t^8, basta multiplicar
l(t^3r)timesl(1 + t + tfract^22 + tfract^36 + tfract^424 + tfract^5120r)
e desprezar os termos de ordem >= t^9. Isso dá
e^t,sin(t^3) approx t^3 + t^4 + t^52 + t^66 + t^724 + t^8120

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a a=tfrac110:
integral0^a t^3,dt = a^44, integral0^a t^4,dt = a^55, integral0^a t^52,dt = a^612,
integral0^a t^66,dt = a^742, integral0^a t^724,dt = a^8192, integral0^a t^8120,dt = a^91080

Passo 4

Substituindo a=0,1 (ou seja 10^-1):
a^44 = 10^-44 = 2,5times10^-5, a^55 = 2,0times10^-6, a^612=8,333times10^-8,
a^742=2,381times10^-9, a^8192=5,208times10^-11, a^91080=9,259times10^-13
Somando todos esses termos obtemos
integral0^110 e^tsin(t^3),dt approx 2,708576times10^-5 =0,0000270858ldots

Passo 5

Arredondando esse valor até a terceira casa decimal (isto é, até 10^-3), todas as três primeiras casas ficam nulas. Logo o valor aproximado é
0,000

Resposta

0,000

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