Ache os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin para as seguintes funções:
integral0^x d traiz1-m^2 sen^2 t, |m|<1

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da expansão de Maclaurin da função
F(x)=integral0^xdtraiz1 - m^2sin^2t, |m|<1
Esse tipo de integral é a chamada integral elíptica de primeira espécie. Para obter a série em x vamos:
  1. usar a expansão binomial em torno de m^2sin^2 t=0,
  2. desenvolver termo a termo,
  3. integrar de 0 a x e coletar os primeiros três termos não nulos.

Passo 2

Expandimos o fator
1raiz1 - m^2sin^2t =(1 - m^2sin^2t)^-tfrac12 =sumk=0^inftybinom-tfrac12k(-m^2sin^2t)^k
Usando
binom-tfrac12k =(-1)^k2^2k(2k)!(k!)^2,
temos
1raiz1 - m^2sin^2t =sumk=0^infty(2k)!2^2k(k!)^2;m^2k,sin^2kt
Logo
F(x)=sumk=0^infty(2k)!2^2k(k!)^2,m^2k integral0^xsin^2kt,dt

Passo 3

Para k=0 temos
(2cdot0)!2^0(0!)^2,m^0=1, integral0^xsin^0t,dt=integral0^xdt=x
Então o termo k=0 é
x

Passo 4

Para k=1 o coeficiente é
(2)!2^2(1!)^2,m^2 =24,m^2=m^22,
e
integral0^xsin^2t,dt =integral0^x1-cos2t2,dt =x2-sin2x4 =x^3/3+O(x^5)
Logo o termo em ordem mais baixa não nula é
m^22,x^33 =m^2x^36

Passo 5

Para k=2 o coeficiente é
(4)!2^4(2!)^2,m^4 =2416cdot4,m^4 =3m^48,
e
integral0^xsin^4t,dt =integral0^x3-4cos2t+cos4t8,dt =x^55+O(x^7)
Assim o primeiro termo não nulo é
3m^48,x^55 =3,m^4x^540

Resposta

F(x) =integral0^xdtraiz1 - m^2sin^2t =x + m^2x^36 + 3,m^4x^540 + cdots

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