Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin da função
f(x)=x+2raiz[3]1-x=x+2(1-x)^1/3
Para isso vamos usar a expansão binomial generalizada
(1+u)^alpha=sumk=0^inftybinomalphaku^k,
onde
binomalphak=alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!

Passo 2

Primeiro expandimos
(1-x)^-1/3
com alpha=-tfrac13 e u=-x. Então
(1-x)^-1/3 =sumk=0^inftybinom-tfrac13k(-x)^k
Calculando os coeficientes até k=3:
k=0:binom-tfrac130=1;Longrightarrow;1
k=1:binom-tfrac131(-x)=l(-tfrac13r)(-x)=tfrac13,x
k=2:binom-tfrac132(-x)^2 =(-tfrac13)(- tfrac43)2!x^2 =418,x^2 =29,x^2
k=3:binom-tfrac133(-x)^3 =(-tfrac13)(- tfrac43)(-tfrac73)3!x^3 =-28162,x^3 =-1481,x^3
Logo
(1-x)^-1/3 =1+13x+29x^2-1481x^3+cdots

Passo 3

Agora multiplicamos por x+2:
f(x)=(x+2)gl(1+13x+29x^2-1481x^3+cdotsgr)
Distribuindo:
2cdot1=2, 2cdot13x=23x, 2cdot29x^2=49x^2,
xcdot1=x, xcdot13x=13x^2, xcdot29x^2=29x^3
Somando termo a termo:
  • termo constante: 2.
  • coeficiente de x: tfrac23+1=tfrac53.
  • coeficiente de x^2: tfrac49+tfrac13=tfrac49+tfrac39=tfrac79.
O termo em x^3 seria -tfrac2881+tfrac29=-tfrac2881+tfrac1881=-tfrac1081, mas já temos três termos não nulos antes dele.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de f(x) são
2+53x+79x^2+cdots

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