Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
e^x at x=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de a=2. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n

Passo 2

Calcular as derivadas de f e avaliá-las em a=2. Como f(x)=e^x,
f^(n)(x)=e^x Longrightarrow f^(n)(2)=e^2 para todo n>=0

Passo 3

Substituir na fórmula de Taylor:
e^x =sumn=0^inftyf^(n)(2)n!(x-2)^n =sumn=0^inftye^2n!(x-2)^n =e^2sumn=0^infty(x-2)^nn!

Passo 4

Como e^x é uma função inteira (isto é, analítica em todo R), o raio de convergência desta série é infinito. Além disso, usando a série de e^u em u=x-2,
sumn=0^infty(x-2)^nn!=e^,x-2,
logo a soma reconstrói a função original:
e^2cdot e^,x-2=e^x

Resposta

e^x = sumn=0^inftye^2n!(x-2)^n, R = infty, e a soma é e^x é

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