Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
at
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis:
Passo 2
Calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Como
,
Passo 3
Substituir na fórmula de Taylor:
Passo 4
Como
é uma função inteira (isto é, analítica em todo
), o raio de convergência desta série é infinito. Além disso, usando a série de
em
,
logo a soma reconstrói a função original: