(a) Determine os valôres de
para os quais
.
(b) Determine de quanto sen
difere de
no intervalo
.
(b) Determine de quanto sen
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar os valores de tais que
;
(b) estimar de quanto difere do polinômio de Taylor até a ordem 5,
(a) determinar os valores de
(b) estimar de quanto
no intervalo
.
Vamos usar monotonicidade, séries de Taylor e o resto de Lagrange.
Vamos usar monotonicidade, séries de Taylor e o resto de Lagrange.
Passo 2
Para (a), definimos
. Observamos que
é ímpar e, para
,
logo
é crescente em
. Basta achar
tal que
e então usar simetria para obter
.
Passo 3
Como
é pequeno, usamos a expansão
para escrever
Igualando ao valor
, ignoramos termos
para achar a aproximação inicial
Refinando por bisseção entre
(onde
) e
(onde
), obtemos
Portanto a solução de
é
Passo 4
Para (b), usamos o resto de Lagrange do polinômio de Taylor de
de grau 5 em
. O resto é
portanto
No intervalo
segue
Resposta
(a)
-0,184<x<0,184 .
(b)llvertsen x-(x-tfracx^36+tfracx^5120)rrvert<=pi^6720approx1,335 .
(b)