(a) Determine os valôres de x para os quais |x-sen x|<0,001.
(b) Determine de quanto sen x difere de x-x^3 / 6+x^5 / 120 no intervalo |x| <= pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar os valores de x tais que lvert x-sen xrvert<0,001;
(b) estimar de quanto sen x difere do polinômio de Taylor até a ordem 5,
P5(x)=x-x^36+x^5120,
no intervalo lvert xrvert<=pi.
Vamos usar monotonicidade, séries de Taylor e o resto de Lagrange.

Passo 2

Para (a), definimos g(x)=x-sen x. Observamos que g é ímpar e, para x>0,
g'(x)=1-cos x>=0,
logo g é crescente em [0,infty). Basta achar a>0 tal que
g(a)=a-sen a=0,001
e então usar simetria para obter -a<x<a.

Passo 3

Como a é pequeno, usamos a expansão
sen x = x-x^36+x^5120-cdots
para escrever
g(x)=x-sen x=x^36-x^5120+cdots
Igualando ao valor ,0,001, ignoramos termos O(x^5) para achar a aproximação inicial
a^36approx0,001Longrightarrow aapprox(0,006)^1/3approx0,1817
Refinando por bisseção entre 0,182 (onde g<0) e 0,188 (onde g>0), obtemos
aapprox0,184
Portanto a solução de lvert x-sen xrvert<0,001 é
-0,184<x<0,184

Passo 4

Para (b), usamos o resto de Lagrange do polinômio de Taylor de sen x de grau 5 em 0. O resto é
R5(x)=f^(6)(xi)6!x^6 com f^(6)(t)=sen t,
portanto
lvert R5(x)rvert<=lvert xrvert^66! =lvert xrvert^6720
No intervalo lvert xrvert<=pi segue
llvertsen x - P5(x)rrvert <=pi^6720approx1,335

Resposta

(a) -0,184<x<0,184.
(b) llvertsen x-(x-tfracx^36+tfracx^5120)rrvert<=pi^6720approx1,335.

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