Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
integral0^x sen t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
f(x)=integral0^xsen(t^2),dt
e, como indicada com asterisco, quer também o intervalo de convergência e se a soma da série realmente retorna f(x). Vamos usar expansão em série de potências de sen u e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos expandindo sen(t^2) em torno de t=0. Sabemos que
sen u = sumk=0^infty(-1)^k,u^2k+1(2k+1)!
Fazendo u=t^2, vem
sen(t^2) =sumk=0^infty(-1)^k,t^4k+2(2k+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
f(x)=integral0^xsen(t^2),dt =sumk=0^infty(-1)^k,1(2k+1)!integral0^xt^4k+2,dt =sumk=0^infty(-1)^k,x^4k+3(2k+1)!,(4k+3)

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos vêm de k=0,1,2:
- Para k=0: x^31!cdot3=x^33.
- Para k=1: -x^73!cdot7=-x^76cdot7=-x^742.
- Para k=2: x^115!cdot11=x^11120cdot11=x^111320.
Logo,
f(x)=x^33-x^742+x^111320+cdots

Passo 5

Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
ak=(-1)^k,x^4k+3(2k+1)!,(4k+3)
Calcula-se
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|x|^4(2k+2)(2k+3)cdot4k+34k+7 =0forall x
Como o limite é 0 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série converge em (-infty,infty).

Passo 6

A função sen(t^2) é inteira, logo sua série de potências converge uniformemente em quaisquer compactos de R. Isso garante a validade da integração termo a termo e mostra que a soma da série de Maclaurin coincide com
f(x)=integral0^xsen(t^2),dt para todo x.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos são
x^33-x^742+x^111320+cdots
O intervalo de convergência é (-infty,infty) e a soma da série repõe exatamente a função integral0^xsen(t^2),dt.

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