Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
e, como indicada com asterisco, quer também o intervalo de convergência e se a soma da série realmente retorna . Vamos usar expansão em série de potências de e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos expandindo em torno de . Sabemos que
Fazendo , vem
Passo 3
Agora integramos termo a termo de a :
Passo 4
Os três primeiros termos não nulos vêm de :
- Para : .
- Para : .
- Para : .
Logo,
Passo 5
Para o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calcula-se
Como o limite é 0 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série converge em (-infty,infty).
Passo 6
A função sen(t^2) é inteira, logo sua série de potências converge uniformemente em quaisquer compactos de R. Isso garante a validade da integração termo a termo e mostra que a soma da série de Maclaurin coincide com f(x)=integral0^xsen(t^2),dt para todo x.
Resposta
Os três primeiros termos não nulos são
x^33-x^742+x^111320+cdots
O intervalo de convergência é (-infty,infty) e a soma da série repõe exatamente a função integral0^xsen(t^2),dt.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.21 - Ex. 2.l