Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
e, como a função está assinalada com asterisco, também quer o intervalo de convergência e a garantia de que a soma da série é realmente
. Vamos usar a expansão de
e obter a de
por inversão de séries.
Passo 2
Escrevemos a série de Maclaurin de
até ordem
:
Supondo
vamos determinar
impondo
.
Passo 3
Multiplicando as séries e igualando a
, o coeficiente de cada potência deve sumir:
coeficiente de :
(ok)
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
:
coeficiente de
(para confirmar o próximo termo):
Passo 4
Os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
são portanto
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, note que
tem polos (singularidades) em
. O mais próximo de
é
, logo o raio de convergência é
isto é, a série converge para
em
. Dentro desse intervalo, como
é função analítica, sua série de Maclaurin realmente soma a
.