Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
sec x

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de sec x e, como a função está assinalada com asterisco, também quer o intervalo de convergência e a garantia de que a soma da série é realmente sec x. Vamos usar a expansão de cos x e obter a de sec x=1/cos x por inversão de séries.

Passo 2

Escrevemos a série de Maclaurin de cos x até ordem x^6:
cos x = 1 ;-;x^22!;+;x^44!;-;x^66!+cdots =1-x^22+x^424-x^6720+cdots
Supondo
sec x = 1cos x =1 + a2,x^2 + a4,x^4 + a6,x^6 + cdots,
vamos determinar a2,a4,a6 impondo sec xcdotcos xequiv1.

Passo 3

Multiplicando as séries e igualando a 1, o coeficiente de cada potência deve sumir:
coeficiente de x^0: 1cdot1=1 (ok)
coeficiente de x^2:
a2cdot1 + 1cdotl(-tfrac12r)=0 implies a2=12
coeficiente de x^4:
a4cdot1 + a2cdotl(-tfrac12r)+1cdot124=0 implies a4=a22-124=14-124=524
coeficiente de x^6 (para confirmar o próximo termo):
a6cdot1 + a4l(-tfrac12r)+a2124+1l(-1720r)=0 ;;implies;; a6=a42-a224+1720 =548-148+1720=61720

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de sec x são portanto
sec x = 1 + x^22 + 5,x^424 + cdots

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, note que sec x tem polos (singularidades) em x=pmpi2. O mais próximo de 0 é pi2, logo o raio de convergência é
R=pi2,
isto é, a série converge para sec x em lvert xrvert<pi2. Dentro desse intervalo, como sec x é função analítica, sua série de Maclaurin realmente soma a sec x.

Resposta

1 + x^22 + 5,x^424 , convergência para lvert xrvert<tfracpi2 e soma igual a sec x.

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