Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
raiz2+x em x=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de raiz2+x centrada em x=1.
Para isso vamos usar o binômio de Newton generalizado para funções do tipo (1+u)^alpha.

Passo 2

Escrevemos
raiz2+x=raiz3+(x-1) =raiz3,raiz1+x-13 =raiz3,l(1+ur)^tfrac12,
onde definimos u=x-13.

Passo 3

Pelo binômio generalizado temos para alpha=tfrac12
(1+u)^tfrac12 =sumn=0^inftybinomtfrac12n,u^n,
com
binomtfrac12n =tfrac12l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-(n-1)r)n!

Passo 4

Substituindo u=x-13 e multiplicando por raiz3, obtemos
raiz2+x =raiz3sumn=0^inftybinomtfrac12nl(x-13r)^n

Resposta

boxed raiz2+x =raiz3sumn=0^infty binomtfrac12n (x-1)^n3^n ,
onde
binomtfrac12n =tfrac12(tfrac12-1)cdots(tfrac12-n+1)n!

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