Seja F(x)=ll0 & se x=0 e^-1 / x^2 & se x neq 0 G(x)= 0 & se x <= 0 e^-1 / x^2 & se x>0
(a) Prove: lim x 0 e^-1 / x^2=0
(b) Prove: F(x) e G(x) são contínuas para todo x.
(c) Calcule: lim h 0 e^-1 / h^2 / h. (Sugestão. Use as Regras de L’Hospital.)
(d) Prove: F^prime(0)=G^prime(0)=0.
(e) Prove: F^prime(x) e G^prime(x) são funções contínuas para todo x.
(f) Prove: F^prime prime(0)=0, G^prime prime(0)=0 e G^prime prime, F^prime prime são funções contínuas para todo x.
(g) Prove: Para cada n=0,1,2, ldots, F^(n)(0)=G^(n)(0)=0.
(h) Trace o gráfico das equações: y=F(x), y=G(x).
(i) Mostre que F, G e a função zero têm a mesma Série de Taylor com centro em 0 . Qual dessas funções (se houver alguma) é a soma de sua Série de Taylor?

Passo 1

O enunciado define as funções
F(x)= 0, & x=0, e^-1/x^2, & xneq0, , G(x)= 0, & x<=0, e^-1/x^2, & x>0,
e pede (a) limite de e^-1/x^2, (b) continuidade de F e G, (c) limhto0e^-1/h^2/h, (d) derivadas em 0, (e) continuidade das derivadas, (f) segunda derivada em 0 e continuidade, (g) derivadas de ordem n em 0, (h) esboço dos gráficos e (i) comparação das Séries de Taylor. Vamos usar propriedades de limites exponenciais, definição de continuidade, regra de L’Hospital, definição de derivada, e o fato de que e^-1/x^2 decai mais rápido que qualquer potência.

Passo 2

Para provar limxto0e^-1/x^2=0, observe que para xneq0
-,1x^2to -infty quando xto0,
e sabemos que limtto-inftye^t=0. Portanto
limxto0e^-1/x^2 =e^limxto0(-1/x^2) =e^-infty =0

Passo 3

Para mostrar que F e G são contínuas em todo x, basta verificar o ponto crítico x=0.
– Em F, limxto0F(x)=limxto0e^-1/x^2=0=F(0).
– Em G, à esquerda de 0 G(x)=0, à direita limxto0^+e^-1/x^2=0, e G(0)=0.
Logo ambas são contínuas em 0 e, como e^-1/x^2 é contínua em xneq0, F e G são contínuas em todo R.

Passo 4

Calcule limhto0e^-1/h^2/h. Temos forma indeterminada 0/0. Aplicando L’Hospital:
limhto0e^-1/h^2h =limhto0ddhl(e^-1/h^2r)ddh(h) =limhto02h^-3,e^-1/h^21 =2limhto0e^-1/h^2h^3
Repetindo a L’Hospital mais duas vezes, ou usando que e^-1/h^2 decai mais rápido que qualquer potência, segue que o limite é 0.

Passo 5

Pela definição de derivada em 0:
F'(0)=limhto0F(h)-F(0)h =limhto0e^-1/h^2h=0,
e idem para G. Logo F'(0)=G'(0)=0.

Passo 6

Para xneq0,
F'(x)=l(e^-1/x^2r)'=2x^-3,e^-1/x^2,
e para G análogo em x>0, enquanto em x<0 G'(x)=0. Como limxto02x^-3e^-1/x^2=0=F'(0) e o mesmo para G' pelos dois lados, F' e G' são contínuas em 0 e, sendo combinações de funções contínuas fora de 0, são contínuas em todo x.

Passo 7

Calcula-se
F''(x)=ddxl(2x^-3e^-1/x^2r) =l(-6x^-4+4x^-6r),e^-1/x^2,
e para G similar em x>0, nulo em x<0. De novo e^-1/x^2 domina qualquer potência e faz limxto0F''(x)=0=F''(0), idem em G. Assim F'' e G'' são contínuas em todo x.

Passo 8

Por indução em n mostra-se que
F^(n)(x)=Pn(x^-1),e^-1/x^2,
onde Pn é polinomial. Como e^-1/x^2 decai mais rápido que qualquer x^-k, limxto0F^(n)(x)=0. Então F^(n)(0)=0 e idem para G.

Passo 9

O gráfico de F é simétrico em torno de 0, vale 0 em 0 e forma um “bico” suave que sobe para 1 quando |x| aumenta. O de G é igual para x>0 e fica em 0 para x<=0.

Passo 10

A Série de Taylor de centro 0 de ambas as funções é
sumn=0^inftyF^(n)(0)n!x^n =sumn=0^infty 0cdot x^n =0,
e o mesmo para G e para a função zero. Dessas três, apenas a função identicamente zero coincide com sua Série de Taylor.

Resposta

(a) limxto0e^-1/x^2=0.
(b) F e G são contínuas em todo R.
(c) limhto0e^-1/h^2/h=0.
(d) F'(0)=G'(0)=0.
(e) F' e G' são contínuas em todo R.
(f) F''(0)=G''(0)=0 e F'',G'' são contínuas em todo R.
(g) Para todo n>=0, F^(n)(0)=G^(n)(0)=0.
(h) y=F(x) tem “bico” suave simétrico, y=G(x) igual para x>0 e zero para x<=0.
(i) Todas têm Série de Taylor 0; somente a função zero é igual à sua Série de Taylor.

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