Seja
(a) Prove:
(b) Prove:
e
são contínuas para todo
.
(c) Calcule:
. (Sugestão. Use as Regras de L’Hospital.)
(d) Prove:
.
(e) Prove:
e
são funções contínuas para todo
.
(f) Prove:
e
são funções contínuas para todo
.
(g) Prove: Para cada
.
(h) Trace o gráfico das equações:
.
(i) Mostre que
e a função zero têm a mesma Série de Taylor com centro em 0 . Qual dessas funções (se houver alguma) é a soma de sua Série de Taylor?
(b) Prove:
(c) Calcule:
(d) Prove:
(e) Prove:
(f) Prove:
(g) Prove: Para cada
(h) Trace o gráfico das equações:
(i) Mostre que
Passo 1
O enunciado define as funções
e pede (a) limite de
, (b) continuidade de
e
, (c)
, (d) derivadas em
, (e) continuidade das derivadas, (f) segunda derivada em
e continuidade, (g) derivadas de ordem
em
, (h) esboço dos gráficos e (i) comparação das Séries de Taylor. Vamos usar propriedades de limites exponenciais, definição de continuidade, regra de L’Hospital, definição de derivada, e o fato de que
decai mais rápido que qualquer potência.
Passo 2
Para provar
, observe que para
e sabemos que
. Portanto
Passo 3
Para mostrar que
e
são contínuas em todo
, basta verificar o ponto crítico
.
– Em ,
.
– Em , à esquerda de
, à direita
, e
.
Logo ambas são contínuas em e, como
é contínua em
,
e
são contínuas em todo
.
– Em
– Em
Logo ambas são contínuas em
Passo 4
Calcule
. Temos forma indeterminada
. Aplicando L’Hospital:
Repetindo a L’Hospital mais duas vezes, ou usando que
decai mais rápido que qualquer potência, segue que o limite é
.
Passo 5
Pela definição de derivada em
:
e idem para
. Logo
.
Passo 6
Para
,
e para
análogo em
, enquanto em
. Como
e o mesmo para
pelos dois lados,
e
são contínuas em
e, sendo combinações de funções contínuas fora de
, são contínuas em todo
.
Passo 7
Calcula-se
e para
similar em
, nulo em
. De novo
domina qualquer potência e faz
, idem em
. Assim
e
são contínuas em todo
.
Passo 8
Por indução em
mostra-se que
onde
é polinomial. Como
decai mais rápido que qualquer
,
. Então
e idem para
.
Passo 9
O gráfico de
é simétrico em torno de
, vale
em
e forma um “bico” suave que sobe para
quando
aumenta. O de
é igual para
e fica em
para
.
Passo 10
A Série de Taylor de centro
de ambas as funções é
e o mesmo para
e para a função zero. Dessas três, apenas a função identicamente zero coincide com sua Série de Taylor.
Resposta
(a)
.
(b) e
são contínuas em todo
.
(c) .
(d) .
(e) e
são contínuas em todo
.
(f) e
são contínuas em todo
.
(g) Para todo ,
.
(h) tem “bico” suave simétrico,
igual para
e zero para
.
(i) Todas têm Série de Taylor ; somente a função zero é igual à sua Série de Taylor.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) Para todo
(h)
(i) Todas têm Série de Taylor