Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e-verifique se a soma é a função dada.
Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
{ }^{\circ} (o) senh x

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de sinh x. Isso envolve usar a definição de série de Taylor centrada em zero e calcular algumas derivadas de sinh x em x=0.

Passo 2

A série de Maclaurin de uma função f é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
Aqui temos f(x)=sinh x. Vamos calcular as derivadas de sinh x e avaliá-las em x=0:
f(x)=sinh x, f'(x)=cosh x, f''(x)=sinh x, f'''(x)=cosh x,;dots

Passo 3

Avaliando em
Logo,
é par},\ 1,&se é ímpar. \end{cases}]
Isso mostra que só aparecem potências ímpares de , cada coeficiente valendo . Podemos reindexar por :

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos correspondem a k=0,1,2, ou seja,
x^2cdot0+11!=x, x^2cdot1+13!=x^36, x^2cdot2+15!=x^5120

Resposta

sinh x = x + x^36 + x^5120 + cdots

Exercícios de Livros Relacionados