Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e-verifique se a soma é a função dada.
Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
{ }^{\circ} (o)
Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
{ }^{\circ} (o)
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
. Isso envolve usar a definição de série de Taylor centrada em zero e calcular algumas derivadas de
em
.
Passo 2
A série de Maclaurin de uma função
é dada por
Aqui temos
. Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
Passo 3
Avaliando em
Logo,
é par},\ 1,&se
é ímpar. \end{cases}]
Isso mostra que só aparecem potências ímpares de
, cada coeficiente valendo
. Podemos reindexar por
:
Passo 4
Os três primeiros termos não nulos correspondem a
, ou seja,