Se 1 / 2 <= alpha <= 1, quão precisamente se deve conhecer alpha a fim de obter raizalpha correta até a terceira casa decimal?

Passo 1

O enunciado pede: dado tfrac12 <= alpha <= 1, determinar a precisão necessária em alpha para que raizalpha seja exata até a terceira casa decimal. O conteúdo aqui é propagação de erro em função via o Teorema do Valor Médio (TVM).

Passo 2

Para garantir que a terceira casa decimal de raizalpha esteja correta, precisamos que o erro absoluto em raizalpha seja menor que metade da unidade na ,10^-3, isto é,
l|De<a(raizalpha)r| < 0,0005

Passo 3

Pelo TVM, para um incremento De<aalpha existe xi entre alpha e alpha+De<aalpha tal que
raizalpha+De<aalpha-raizalpha = De<aalpha2raizxi,
logo
l|De<a(raizalpha)r| <= maxxiin[tfrac12,1]|De<aalpha|2raizxi = |De<aalpha|2raiztfrac12

Passo 4

Como raiztfrac12=1/raiz2, temos
maxalphain[tfrac12,1]l|ddalpharaizalphar| = 12raiztfrac12 = raiz22,
portanto
l|De<a(raizalpha)r|<= raiz22,|De<aalpha|

Passo 5

Impondo raiz22,|De<aalpha|<0,0005, obtemos
|De<aalpha|<2cdot0,0005raiz2 =0,001raiz2 approx 0,000707

Resposta

Para assegurar raizalpha exata até a terceira casa decimal em tfrac12<=alpha<=1, é preciso conhecer alpha com erro absoluto no máximo
|De<aalpha|<=sssim0,000707

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