Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
l /(x+2) em x=0

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor de
f(x)=1x+2
no centro x=0. Vamos usar a ideia de série geométrica, que é um caso clássico de expansão em torno de zero.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de modo a parecer com a fórmula da série geométrica
11+t=sumn=0^infty(-1)^nt^n, |t|<1
Temos
f(x)=12+x=12,11+x2

Passo 3

Aplicando a série geométrica com t=tfracx2, obtemos
11+x2 =sumn=0^infty(-1)^nl(x2r)^n, l|tfracx2r|<1

Passo 4

Multiplicando por tfrac12, a Série de Taylor de f em x=0 fica
f(x) =12sumn=0^infty(-1)^nl(x2r)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^n2^,n+1

Resposta

1x+2 =sumn=0^infty(-1)^nx^n2^,n+1

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