Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
(2 x+3)^1 / 5

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
f(x) = (2x+3)^1/5
Como queremos a expansão em torno de x=0, vamos usar a série binomial generalizada para (1+u)^a.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) de forma a ter um fator constante fora da potência:
f(x) = (3+2x)^1/5 = 3^1/5,l(1 + tfrac23xr)^1/5

Passo 3

A série binomial generalizada é
(1+u)^a = 1 + a,u + a(a-1)2,u^2 + a(a-1)(a-2)6,u^3 + cdots
Aqui temos
a = tfrac15, u = tfrac23x

Passo 4

Aplicando os três primeiros termos não nulos:
  1. Termo constante: 1.
  2. Termo em x: a,u = tfrac15,l(tfrac23xr) = tfrac215x
  3. Termo em x^2: a(a-1)2,u^2 = tfrac15l(tfrac15-1r)2 l(tfrac23xr)^2 = tfrac15cdot(-tfrac45)2,49,x^2 = -8225,x^2
Multiplicando tudo por 3^1/5, obtemos os três primeiros termos de f(x).

Resposta

(2x+3)^1/5 = 3^1/5,l(1 + tfrac215x - tfrac8225x^2 + cdotsr)

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