Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
3 x-52 x+4>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x-52x+4 > 1
e depois representar graficamente o conjunto-solução no eixo real. O conteúdo que vamos usar é a análise de sinal de uma fração: encontramos domínio, colocamos tudo numa única razão e estudamos o sinal de numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio da expressão. Como o denominador não pode ser zero,
2x + 4 neq 0 Longrightarrow x neq -2

Passo 3

Colocamos tudo na mesma fração para comparar com zero:
3x-52x+4 - 1 > 0 Longrightarrow 3x-5 - (2x+4)2x+4 > 0 Longrightarrow x - 92x + 4 > 0

Passo 4

Determinamos os pontos críticos de sinal:
– Numerador x - 9 = 0 x = 9.
– Denominador 2x + 4 = 0 x = -2 (já excluído do domínio).
Agora estudamos o sinal de x-92x+4 em cada intervalo:
  • Para x < -2: numerador x-9<0, denominador 2x+4<0 Rightarrow quociente >0.
  • Para -2 < x < 9: numerador x-9<0, denominador 2x+4>0 Rightarrow quociente <0.
  • Para x > 9: numerador x-9>0, denominador 2x+4>0 Rightarrow quociente >0.

Passo 5

Como queremos x-92x+4>0, as regiões válidas são
x < -2 e x > 9
Não incluímos x=-2 (denom. zero) nem x=9 (fração nula).

Resposta

O conjunto-solução é
(-infty, -2);cup;(9, infty)
Para representar no eixo real, marque -2 e 9 com círculos abertos e sombreie a região à esquerda de -2 e a região à direita de 9.

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