Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x-1|^2<|2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-1|^2<|2x+1|
usando propriedade de valor absoluto e depois representar o conjunto-solução no eixo x. Vamos precisar dividir em casos conforme o sinal de 2x+1 e resolver inequações quadráticas.

Passo 2

Analisamos o sinal de 2x+1 para eliminar o valor absoluto de cada lado.
Caso A: 2x+1>=0, isto é, x>= -tfrac12.
Nesse caso |2x+1|=2x+1, logo a desigualdade vira
(x-1)^2<2x+1

Passo 3

Resolver em x>= -tfrac12 a inequação
(x-1)^2<2x+1
desenvolvendo:
x^2-2x+1<2x+1 Long<=ftrightarrow x^2-4x<0 Long<=ftrightarrow x(x-4)<0
A solução de x(x-4)<0 é 0<x<4. Intersectando com x>= -tfrac12 mantemos
0<x<4

Passo 4

Caso B: 2x+1<0, ou seja x<-tfrac12.
Aqui |2x+1|=-(2x+1), e a desigualdade fica
(x-1)^2<-(2x+1)= -2x-1
Isso dá
x^2-2x+1<-2x-1 Long<=ftrightarrow x^2+2<0,
que não tem solução real. Logo não há x<-tfrac12 satisfazendo a inequação.

Passo 5

Unindo os resultados dos dois casos, a única parte que satisfaz a desigualdade é
0<x<4

Passo 6

No eixo x, marcamos pontos vazados em x=0 e x=4, e pintamos o intervalo aberto entre eles.

Resposta

(0,4)

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