Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x^2-x-1|<2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade de valor absoluto
|x^2-x-1|<2
ou seja, encontrar todos os xinR tais que o valor absoluto de x^2-x-1 seja menor que 2. O conteúdo é inequação envolvendo valor absoluto de expressão quadrática e vamos usar a equivalência
|A|<BLong<=ftrightarrow -B<A<B

Passo 2

Aplicando essa equivalência com A=x^2-x-1 e B=2, temos a dupla desigualdade
-2 < x^2-x-1 < 2
Isso equivale a resolver simultaneamente
x^2-x-1 < 2 e x^2-x-1 > -2

Passo 3

Vamos à primeira parte:
x^2-x-1 < 2 Long<=ftrightarrow x^2-x-3 < 0
Esta é uma inequação de segundo grau com coeficiente líder positivo. Calculemos o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 1 + 12 = 13
As raízes são
x = 1 pm raiz132
Como a parábola x^2-x-3 abre para cima, ela é negativa exatamente entre as raízes. Logo
x^2-x-3<0 Long<=ftrightarrow 1-raiz132 < x < 1+raiz132

Passo 4

Agora a segunda parte:
x^2-x-1 > -2 Long<=ftrightarrow x^2-x+1 > 0
O discriminante aqui é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot1 = 1 - 4 = -3 < 0,
e como o coeficiente de x^2 é positivo, temos x^2-x+1>0 para todo xinR. Portanto essa desigualdade não impõe nenhuma restrição adicional.

Passo 5

A solução da inequação original é a interseção das duas condições. Como a segunda vale para todo x, a solução final fica apenas com a primeira:
1-raiz132 < x < 1+raiz132

Resposta

A solução é
l(tfrac1-raiz132,,tfrac1+raiz132r)
No eixo coordenado, marcamos os pontos tfrac1-raiz132 e tfrac1+raiz132 e pintamos o segmento aberto entre eles.

Exercícios de Livros Relacionados