Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x-1|+|x-2|>|10 x-1|

Passo 1

O problema pede para resolver a desigualdade
|x-1| + |x-2| > |10x - 1|
em xinR e depois representar graficamente a solução no eixo real. O conteúdo principal aqui é manipular valores absolutos, que exige dividir o domínio em regiões onde cada expressão dentro de valor absoluto tem sinal fixo.

Passo 2

Identificamos os pontos onde mudam os sinais em |x-1|, |x-2| e |10x-1|. São
x = 1, x = 2, x = tfrac110
Assim, partimos a reta real em quatro intervalos:
(-infty,tfrac110), (tfrac110,1), (1,2), (2,infty)

Passo 3

Caso x<tfrac110: temos x-1<0, x-2<0 e 10x-1<0. Então
|x-1|=1-x, |x-2|=2-x, |10x-1|=1-10x
e a desigualdade vira
(1-x)+(2-x) > 1-10x Longrightarrow 3 - 2x > 1 - 10x Longrightarrow 8x > -2 Longrightarrow x > -tfrac14
Intersecando com x<tfrac110, obtemos
-tfrac14 < x < tfrac110

Passo 4

Caso tfrac110<= x<1: aqui x-1<0, x-2<0 mas 10x-1>=0. Logo
|x-1|=1-x, |x-2|=2-x, |10x-1|=10x-1,
e
(1-x)+(2-x)>10x-1 Longrightarrow 3-2x>10x-1 Longrightarrow 12x<4 Longrightarrow x<tfrac13
Intersecando com tfrac110<= x<1, ficamos com
tfrac110<= x<tfrac13
Como em x=tfrac110 a desigualdade vale estritamente (resultado 2,8>0), incluímos o ponto tfrac110. Em x=tfrac13 dá zero, então excluímos tfrac13.

Passo 5

Para x>=1 (nos intervalos (1,2) e (2,infty)) verifica-se que a desigualdade se torna
1>10x-1ou2x-3>10x-1,
ambas impossíveis para x>=1. Logo não há solução nessa região.

Passo 6

Juntando as partes não-vazias dos dois primeiros casos, a solução final é
-tfrac14 < x < tfrac13

Resposta

xinl(-tfrac14,,tfrac13r)
No eixo real representa-se um segmento aberto entre -tfrac14 e tfrac13, com círculos vazios em cada extremidade.

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